1999. 2. 26

大韓地球物理學會

大韓地球物理學會 電氣比抵抗探査 短期講座 敎材 1999. 2. 26.

1. 기본 전자기 이론 및 장비 제원 검토

1.1 맥스웰 방정식 및 전류 연속 방정식

(Maxwell Equations and Equation of Continuity)

맥스웰 방정식은 경우에 따라 미분 형태, 적분 형태 등으로 표현이 가능하며, 표현된 관계식은 매우 깔끔하고 아름답지만 이러한 수학적인 표현을 실제적인 현상으로 이해하는 일은 결코 단순하지 않다. 그러나 복잡한 물리적 현상을 이해하기 위해서는 귀찮은 수학적 표현을 완전히 배제하고는 거의 불가능하며, 특히 어떠한 특정 수치를 구해야 하는 경우는 더욱 더 그러하다. 지금 우리가 알고자 하는 전기 비저항 탐사의 경우도 예외는 아니다. □땅속의 전기 비저항이 이러 저러할 때, 여기에서 10 mA의 전류를 흘려준다면 저기에 도대체 몇 볼트의 전압이 걸리는가?□ 또는 □여기에서 10 mA의 전류를 흘려 주었더니 저기에 100 mV의 전압이 유도되었는데 그렇다면 땅속에는 어떤 값의 전기 비저항을 갖는 물질이 어떠한 모양으로 존재하는 것일까?□하는 정량적인 값이나 정량적인 구조를 밝혀내야 하는 것이 우리의 과제이다. 그러므로 본 교재에서도 수학적인 표현을 배제 시킬 수는 없었다. 다만, 이러한 수학적인 표현들이 의미 없는 정보 매체가 되지 않도록 최대한의 부연 설명을 첨가하였다. 이러한 노력이 비록 전문적인 수학적 표현에 능통한 사람들에게는 진부한 사족이 될 가능성이 높지만, 수식의 의미를 이해하려고 애쓰는 사람들에게는 도움이 되리라 믿는다.

본 교재에서 취급하는 전자기 문제는 기본적으로 다음의 규칙을 따른다고 약속하자.  첫째, 기본적인 대상체의 관점은 물리적 거시 환경(macroscopic : 선형 크기가 원자 단위에 대해 충분히 크고 전하의 크기도 원자의 전하량에 비해 큰 환경)이며, 둘째, 모든 매체는 관찰자에 대해서 정적이다. 마지막으로 본 교재에서는 MKSC 단위를 사용한다.

첫째, 거시 환경에 대한 가정은, 원자 단위 이하의 크기에서 일어나는 다양한 물리 현상에 대해서는 논의 사항에서 배제시킨다는 의미이며, 둘째, 매체가 정적이라는 것은 움직이는 매체에 대한 전자기적 현상과 관련된 일체의 힘에 대해서는 취급하지 않는다는 의미를 갖는다. 이러한 가정들은 지구물리 탐사에서 사용되는 대부분의 전기 및 전자파 탐사에 대해서 실용성을 갖는다. 다시 말해 매우 엄밀한 물리적 의미에서는 완벽한 설명이라고 할 수 없지만 지구물리 탐사에서 실제로 적용되는 조사 대상체나 실제 관측되는 전자기적 물리양을 설명하기에는 충분하다는 것이다.

엄밀한 의미에서 전자기적 현상을 회로(回路; circuit)의 문제나 장(場; field)의 문제로 완전히 독립시켜 다루는 것은 곤란하지만, 도선의 유무를 통해 전자기적 현상을 회로 혹은 장의 문제로 구분 지어 생각하는 것이 편리할 때가 많다. 맥스웰 방정식은 주로 장의 형태로 표현되고 설명되지만 이에 대한 이해를 돕기 위해서는 이에 상응하는 회로의 문제로 제고 해 볼 필요가 있으므로 우선 장에 대한 형태 표현을 살펴보고 계속해서 회로에 해당되는 이들 대응식들 및 물리량들을 고려해 보기로 한다.

일반적으로 전자기장(電磁氣場; electromagnetic fields)을 표현하기 위한 6가지 물리량은 다음과 같다. 특히, 단위에 주의를 기울려 어떠한 물리적인 차원을 갖는지 살펴봐 주기를 바란다.

E : 전기장 강도 (electric intensity) V/m

H : 자기장 강도 (magnetic intensity) A/m

D : 전기 속밀도 (electric flux density) C/m2

B : 자기 속밀도 (magnetic flux density) Weber/m2

J : 전류 밀도 (electric current density) A/m2

qv : 전하량 밀도 (electric charge density) C/m3

<A=C/sec, Weber=V·sec>

우선 이들 6가지 장(場)의 형태를 갖는 물리량을 표현되는 미분 형태 맥스웰 방정식 및 전류 연속 방정식은 다음과 같다.

[eqn: TRIANGLED TIMES bold E &= - {partial bold B} over {partial t} ```` CDOTS CDOTS (1.1)]

[eqn: TRIANGLED TIMES bold B &= {partial bold D} over {partial t} + bold J ```` CDOTS CDOTS(1.2)]

[eqn: TRIANGLED CDOT bold B &= 0 ```` CDOTS CDOTS(1.3)]

[eqn: TRIANGLED CDOT bold D &= q_v ```` CDOTS CDOTS(1.4)]

[eqn: TRIANGLED CDOT bold J &= - {partial q_v} over {partial t} ```` CDOTS CDOTS(1.5)]

실제로 이러한 미분 형태를 사용할 수 있는 것은 위의 물리량들이 잘 형성되어진(well behaved) 경우에 한한다. 다시 말해, 이들 물리량이나 그 미분 값들이 급작스러운 불연속을 갖지 않는 경우를 말한다. 위의 미분 형태 표현 중 (1.1)부터 (1.4)까지가 맥스웰 방정식이며, (1.5)가 전류 연속 방정식이라고 불리는 식이다. 이러한 미분 형태보다 좀더 일반적인 형태가 적분형으로 표현되는 다음과 같은 식들로써 이 경우는 더 이상 물리량들이 잘 형성되어질 필요가 없다.

[eqn: OINT bold E CDOT d bold l = - {d over dt} INT INT bold B CDOT d bold s``cdots cdots (1.6)]

[eqn: OINT OINT bold B CDOT d bold s = 0 `` cdots cdots (1.7)]

[eqn: OINT bold H cdot d bold l = d over dt int int bold D cdot d bold s + int int bold J cdot d bold s ``cdots cdots (1.8)]

[eqn: oint oint bold D cdot d bold s = int int int q_v ``d tau `` cdots cdots (1.9)]

[eqn: oint oint bold J cdot d bold s = - { d over dt} int int int q_v `` d tau ``cdots cdots (1.10)]

적분형으로 표현되는 윗 식들은 선적분, 면적분 및 체적분에 대한 이해를 촉구한다. 이들 적분 중, 면적분의 표현은 [eqn: INT INT] 및 [eqn: oint oint] 의 두 가지 표현 방식을 갖고 있는데 이는 면적분이 어떠한 폐곡선으로 둘러싸여진 범위 표면에 대해서 행해지는 경우(전자)와 3차원 공간상의 체적을 둘러싸는 표면에 대해서 행해지는 경우(후자)를 구분하기 위한 것이다. 선적분과 면적분의 경우, 피적분 물리량(적분당하는 물리량; 보통 적분 기호 내부의 물리량)이 벡터 성분이며, 이들 벡터 성분들은 선요소([eqn: d bold l] ) 벡터 또는 면요소([eqn: d bold s]) 벡터와의 내적 연산 후 합해지는 절차를 갖는다. 이들 선적분, 면적분 및 체적분은 필요에 따라 적합한 조건 내에서 서로 표현을 바꾸어 나갈 수 있는데 이러한 관계는 Stoke의 이론, divergence 이론에 의해 설명된다(참조: 이러한 벡터의 미분 혹은 적분 관련 해석 및 다중 적분에 대한 설명 책자는 매우 다양하지만 본인의 판단에서 볼 때, 가장 친절한 설명과 도해를 곁들인 책은 Boas M. L의 "Mathmatical Methods in the Physical Sciences"이다. 이 책자는 국내에 국문 해석판이 이미 출간되어 있으며, 이 해석판 역시 나름대로 매우 친절한 설명을 보여주고 있다).

전자기장의 형태로 표현되는 미분 또는 적분 꼴의 맥스웰 방정식 및 연속 방정식에 대한 물리적 의미 해석은 우선 잠시 미루고 장의 형태보다 실질적으로 우리에게 자주 접하게 되는 회로의 개념에서 표현되는 전자기 물리량들을 알아보자. 이들 양은 기본적으로 V(전압), A(전류) 및 C(전하량) 등의 차원을 가지며, 이중 V 및 A는 간단한 계측기로 측정이 가능하므로 전자기장의 물리량에 비해 보다 구체적이다.

회로적 개념에서 사용되는 대표적인 물리량은 다음과 같으며, 역시, 단위에 주의를 기울려 어떠한 물리적인 차원을 갖는지 살펴봐 주기를 바란다.

v 전압 (voltage) V

i  전기전류 (electric current) A

q 전하량 (electric charge) C

[eqn: psi]  자기속 (magnetic flux) weber (V-sec)

[eqn: psi^e] 전기속 (electric flux) C

u 자기유도력 (magnetomotive force) A

이들 물리량들은 전자기장 물리량에 대해서 아래와 같은 식으로 표현 가능하다.

[eqn: v = int bold E cdot d bold l], [eqn: psi = int int bold B cdot d bold s], [eqn: i = int int bold J cdot d bold s],

[eqn: psi^e = int int bold D cdot d bold s], [eqn: q = int int int q_v `d tau], [eqn: u = int bold H cdot d bold l `` cdots cdots (1.11)]

이들 회로적 물리량들과 기존의 전자기장 물리량들을 혼합하여 다시 맥스웰 방정식과 전류 연속 방정식을 표현하면 다음과 같다.

[eqn: OINT bold E CDOT d bold l = - {d psi} over dt``cdots cdots (1.12)]

[eqn: OINT OINT bold B CDOT d bold s = 0 `` cdots cdots (1.13)]

[eqn: OINT bold H cdot d bold l = {d psi^e} over dt + i``cdots cdots (1.14)]

[eqn: oint oint bold D cdot d bold s = q `` cdots cdots (1.15)]

[eqn: oint oint bold J cdot d bold s = - { dq} over dt ``cdots cdots (1.16)]

마지막으로 이들 식들을 모두 회로적 물리량으로 표현하여보자. 이를 위해 새로운 표현법으로 [eqn: SUM _l] 및 [eqn: SUM _s]를 정의하자. 여기에서 [eqn: SUM _l]은 폐곡선(폐회로)에 대한 선적분을 의미하며, [eqn: SUM _s]은 폐곡면으로 둘러 쌓인 면적분을 의미한다.

[eqn: SUM_l v = - {d psi} over dt``cdots cdots (1.17)] [eqn: SUM_s psi= 0 `` cdots cdots (1.18)]

[eqn: SUM_l u = {d psi^e} over dt + i``cdots cdots (1.19)] [eqn: SUM_s psi^e = q `` cdots cdots (1.20)]

[eqn: SUM_s i = - { dq} over dt ``cdots cdots (1.21)]

(1.17)부터 (1.20)은 결국, 키리호프 전위 법칙(Kirchhoff's voltage law)의 일반형에 대한 표현이며, (1.21)은 키리호프 전류 법칙(Kirchhoff's current law)의 일반형 표현임을 주지하자.

지금까지 복잡한 수식 형태의 맥스웰 방정식, 전류 연속 방정식 및 이와 관련된 물리량들을 언급하였다. 지금부터 이들 식과 물리량들에 대한 물리적 의미를 살펴보기로 하자.

중학교 혹은 고등학교 교육 과정에서(엄밀하게 말하면 초등학교에서 도선, 코일, 나침반 등을 가지고 수행했던 몇 가지 실험도 이에 포함됨) 전기와 관련되어 습득했던 몇 가지 대표적인 법칙들과 위의 복잡한 식들과 어떻게 연관되는가 살펴보기로 한다.

첫째, 패러데이의 유도 법칙(Faraday's law of induction)에 대한 표현이 (1.1), (1.6), (1.12) 및 (1.17)에 해당된다. 이 법칙은 □자기속(magnetic flux)의 시간적 변화는 이를 둘러싸고 있는 주변에 전압을 유도시킨다□라는 것이다. 즉, 코일 속으로 막대 자석을 움직이면 전압이 유도(결국, 전류가 발생됨)된다는 것이다. 여기서 자기속의 시간적 변화라는 물리적인 의미는 결국, [eqn: d bold B / dt] 또는[eqn: d psi /dt] 로 표현되며, 전압 유도가 [eqn: int bold E cdot d bold l] 혹은 v 로 표현되어 있는 것이다.

둘째, 자기장은 반드시 쌍극자 형태로 존재한다는 의미의 표현이 (1.3), (1.7), (1.13) 및 (1.18)에 해당된다. 이것은 어떠한 닫혀진 공간도 특별히 자기장을 발생(source)시키기만 하거나 함몰(sink)시키기만 할 수 없다는 의미를 갖는다. 이 것에 대한 수학적인 표현은 어떤 공간을 둘러싸고 있는 폐곡면으로 통과되는 자기장에 대한 면적분, 즉 [eqn: OINT OINT bold B CDOT d bold s] 은 항상 값이 없다는 것을 의미한다.

셋째, 시간적 변화의 경우(예를 들어 교류)로 확장된 암페어의 회로 법칙(Ampere's circuital law)에 대한 표현이 (1.2), (1.8), (1.14) 및 (1.19)에 해당된다. 이 법칙에 대한 간단한 정의는 □전류가 흐르면 주변에 자기장이 생성된다□는 것이다. 이때, 우리가 흔히 접하는 전도 전류에 대한 표현이 [eqn: bold J] 또는 i 이며, 변위 전류(직접 전하의 이동이 있지는 않지만 공간적으로 전하의 집중이나 분산에 의해 마치 전류가 흐르는 것과 같은 효과를 보이는 전류)에 대한 표현이 [eqn: {d psi^e} / dt] 또는[eqn: {partial bold D} / {partial t}]에 해당된다. 물론 자기장의 생성에 해당되는 표현식이 [eqn: TRIANGLED TIMES bold B],  [eqn: OINT bold H cdot d bold l] 또는 [eqn: SUM_l u] 에 해당된다.

넷째, 전기장은 반드시 전하에서 생성된다는 표현이 (1.4), (1.9), (1.15) 및 (1.20)에 해당된다. 이 표현은 보통 가우스의 법칙(Gauss's law)이라고도 하며, 전기장의 시작(source) 및 끝(sink)은 어떠한 경우에도 전하임을 의미한다. 다시 말해, 어떠한 공간을 둘러싸고 있는 폐곡면을 통과하는 전기장에 대한 면적분 값은 그 폐곡면으로 둘러싸인 공간내의 전하량과 일치한다는 것이다.

다섯째, 전하의 총량은 항상 보존된다는 전하량 보존의 법칙(law of conservation of charge)에 해당하는 식들이 전류 연속 방정식에 해당되는 (1.5), (1.10), (1.16) 및 (1.21)들이다. 이 전하량 보존의 법칙은 실제 전기 비저항 탐사에 대한 이론적 접근에 가장 근간을 이루는 기본 방정식의 역할을 한다. 이 법칙은 □전하는 생성되지도 소멸되지도 않는다(생성과 소멸의 의미의 전하의 이동과는 별개의 것임, 즉 전하가 여기저기 이동할 수는 있음)□라는 의미이며, 이 것은 전류선(lines of current)의 시작은 전하 밀도가 증가하는 곳에서 시작해서 전하 밀도가 감소되는 곳에서 끝난다는 것을 의미한다.

여기까지가 맥스웰 방정식 및 전류 연속 방정식에 대한 수학적 표현과 물리적 의미의 고찰이다. 이식들만으로 전기 비저항 탐사에 대한 기본적인 전자기적 개념을 정리할 수 있으면 얼마나 좋을까? 안타깝게도 넘어야 할 산이 하나 더 있다. 매우 널리 알려진 옴의 법칙(Ohm's law)이 아직 언급되지 않았다. 이 법칙이야말로 전기 비저항 탐사의 핵심적 요소이다. 사실 지금까지 언급한 맥스웰 방정식들과 전류 연속 방정식 중에서 실제적인 전기 비저항 탐사의 이해에 필요한 필수 요소는 전류 연속 방정식뿐이다.  여기에 옴의 법칙을 설명하기 위해 도입되는 구성 관련식(constitutive relationships) 중 전류 밀도와 전기장과의 관계식을 이해하면 필수적인 전기 비저항 탐사에 대한 전자기적 필수 식은 모두 이해하게 되는 것이다.

1.2 전자기 구성 관련식 및 전기 비저항

(Constitutive Relationships and Resistivity)

전자기 구성 관련식이란 물질의 고유 성질과 전자기강의 기본 물리량들과의 관계를 설명해주는 식을 말한다. 보통 이 식은 전기장 강도 E, 자기장 강도 H를 통해 전기 속밀도 D, 자기 속밀도 B, 전류 밀도 J를 표현하는 형식을 취한다.

이들 관계식은 일반적인 선형 관계 매질의 경우,

[eqn: bold D = epsilon bold E + epsilon_1 {partial bold E} over {partial t} + epsilon_2 {partial^2 bold E} over {partial t ^2} cdots ```````` cdots cdots (1.22)]

[eqn: bold B = mu bold H + mu_1 {partial bold H} over {partial t} + mu_2 {partial^2 bold H} over {partial t ^2} cdots ```````` cdots cdots (1.23)]

[eqn: bold J = sigma bold E + sigma_1 {partial bold E} over {partial t} + sigma_2 {partial^2 bold E} over {partial t ^2} cdots ```````` cdots cdots (1.24)]

로 표현되며, 특별한 매질의 경우는 이 보다 복잡한 형태의 관계식을 갖기도 한다.

이러한 선형 관계 매질의 특수한 경우, 단지 이러한 전자기장의 물리량들이 단순 비례의 형태를 가질 수 있으며, 이 경우 위의 식은 다음과 같이 표현된다.

[eqn: bold D = epsilon bold E ```````` cdots cdots (1.25)]

[eqn: bold B = mu bold H```````` cdots cdots (1.26)]

[eqn: bold J = sigma bold E ```````` cdots cdots (1.27)]

윗 식들에서 매질의 특성과 관련된 3개의 물성치는 1) [eqn: epsilon] 유전율(permittivity, capacitivity 또는 dielectric constant 등으로 불림) 2) [eqn: mu] 투자율(permeability 또는 inductivity 등으로 불림) 3) [eqn: sigma] 전기전도도(conductivity) 이다. (1.25) 및 (1.26)에 대한 간단한 표현은 □전기 속밀도 및 자기 속밀도가 최초 유도된 전기장 또는 자기장과 물질내의 전하 분포 또는 자화 강도 등을 결정하는 물성 특징에 의해 표현된다□라고 할 수 있다. 사실 이에 대한 자세한 물리적 의미는 보다 복잡하지만 전기 비저항 탐사와는 직접적인 관련이 적으므로 여기서는 거론하지 않는다.

구성 관련 식들 중 마지막 식인 (1.27)은 옴의 법칙에 대한 기본 표현이다. 본 식의 전기 전도도는, 전기 비저항([eqn: rho], resistivity)과 서로 역수의 관계를 갖는 물리량으로 보통, 전기에 대한 취급을 할 때, 언급되는 저항을 결정짓는 대한 고유 특성치이다. 즉 (1.27)은

[eqn: bold J = 1 over rho bold E ```````` cdots cdots (1.28)]

로 표현 가능하다. 일반적으로 알려진 오옴의 법칙은 보통,

[eqn: I = V over R``` cdots cdots (1.29)]

로 표현된다.

이 식의 [eqn: I]는 (1.28)의 [eqn: bold J], [eqn: R]은 [eqn: rho], [eqn: V]는 [eqn: bold E]에 각 각 대응된다. 단, (1.28) 식은 완전히 규격화된 형태내의 표현이며, (1.29)는 다양한 기하학적 형태, 또는 회로에 대해 표현되는 양식이라고 말할 수 있다.

전기 비저항은 전기 비저항 탐사에 있어서 가장 핵심적인 물리량이고 전기 비저항에 대한 이해가 전기 비저항 탐사에 대한 기본적 과제이다.

전기 비저항이란 어떠한 물체에 일정한 전압을 가하였을 때, 흐르게 되는 전류의 양을 결정 지어주는 물리량이다. 보통 전압과 전류의 비는 저항이라는 값으로 환산되지만 저항은 동일한 물체라도 기하학적인 형태에 따라 변화하므로 대표적인 물성치로 설정할 수 없다. 즉, 어떤 무게를 물성치로 설정하지 않고 밀도로써 고유 물성을 구분 짓는 것과 유사하다.

일정한 방향의 전류의 경우, 도선의 저항은 도선의 길이에 비례하고 도선의 단면적에 반비례한다는 사실은 이미 중학교 과학 시절(요즘은 초등학교에서 나올지도 모름)에  이미 학습한 바 있으리라 믿는다. 이러한 저항의 특성을 수식으로 표현하면,

[eqn: R` PROPTO l over A `` cdots cdots (1.30)]

이고, 이 식에 비례 상수를 [eqn: rho]로 사용하면, 결국

[eqn: R` = rho l over A `` cdots cdots (1.31)]

로 표현된다.

여기에서,[eqn: R] : 저항 resistance (ohm), [eqn: rho] : 비저항 resistivity (ohm-m),

[eqn: l] : 도선의 길이 length (m), [eqn: A] : 도선의 단면적 area(m2)이다.

만약, 균질한 무한 매질 내에 한 특정점에서 전류가 유입된다면 유입된 전류는 전공간으로 균질하게 흘러나가게 된다. 이때, 반경이 [eqn: r]인 구를 가정하면, 구의 표면적은 [eqn: 4 pi r^2] 이며, 이것을 도선에 비유한다면 길이가 [eqn: r]이고 도선의 단면적이 [eqn: 4 pi r^2] 인 경우에 해당된다(그림 1.1참조).

그림 1.1 무한 매질내의 점전원에 의한 전위 현상

이 경우, 도선에서의 저항 값을 구하는 식을 사용하면

[eqn: R = rho l over A = rho r over {4 pi r^2} = rho 1 over { 4 pi r} `` cdots cdots (1.32)]

로 표현 가능하다. 이 식을 오옴의 법칙([eqn: V = I R])을 이용하여 [eqn: R] 값에 대해 풀어내면 결국,

[eqn: V={ I rho } over { 4 pi r}`` cdots cdots (1.33)] (무한 균질 공간에서의 전위)

식을 얻게 되며, 이것은 전류 [eqn: I]가 주입되는 지점으로부터 거리 [eqn: r] 만큼 떨어진 곳의 전위가 비저항 [eqn: rho]에는 비례하고 거리 [eqn: r]에는 반비례한다는 것을 말해준다.

그러나, 실제적인 전기 비저항 탐사는 지표에서 수행되고 이러한 지표에서의 전류 전원의 특성은 반무한 공간에 해당되는 조건을 가지고 있다. 즉, 지표 하부(지층)와 지표 상부(대기)의 전기적인 특징이 뚜렷이 구분되며, 지표 상부는 일체의 전류가 유입될 수 없는 무한 부도체로 가정할 수 있다. 결국, 이 경우에는 전류가 오직 지표 하부 공간으로만 유입 가능하게 된다. 이러한 지표에서의 전류 전원에 대해서  반경이 [eqn: r]인 반구를 가정할 수 있으며, 이 경우, 구의 표면적은 [eqn: 2 pi r^2] 에 해당되며, 이러한 현상을 도선에 비유한다면 길이가 [eqn: r]이고 도선의 단면적이 [eqn: 2 pi r^2] 인 경우에 해당된다(그림 1.2참조).

그림 1.2 반무한 매질내의 점전원에 의한 전위 현상

이제, 무한 공간에서 적용하였던 것과 동일한 방식으로 저항를 유도하고, 이 저항을 오옴의 법칙에 의해 전류와 전위로 대치하면 결국,

[eqn: V={ I rho } over { 2 pi r}`` cdots cdots (1.34)] (반무한 균질 공간에서의 전위)

로 표현된다. 본 식은 전기 비저항 탐사에서 가장 기본이 되는 식으로 현장에서 간편한 겉보기 전기 비저항이라는 물리적인 개념을 유추하기 위하여 항시 사용되므로 무조건 암기하길 바란다. 층상 구조에 대한 전기 탐사 이론 전개 시에 보다 심도있게 반무한 균질 공간에서의 전위 분포식이 (1.34)처럼 증명됨을 다시 알 수 있을 것이다.

실제 지반 조사시에 도움이 되는 암석에 대한 전기 비저항 정보는 다음 그림 1.3을 참조 할 수 있다. 특히 실제적인 값의 크기에 주의를 기울려 그림 1.3을 관찰해 주기 바란다. 즉 다른 모든 지구물리 탐사도 마찬가지지만, 일반적인 지질 조사에서 나타나는 전기 비저항 물성치의 크기에 대한 기본적인 감(感)을 잡는 일은 실질 응용을 위해 필수적이다. 이러한 값의 크기에 대한 인식은 결정적인 해석의 오류나 관측 실수를 줄일 수 있는 좋은 판단 근거가 된다.

그림 1.3 대표적인 암종의 전기비저항

그림 1.3에서 볼 수 있듯이 전기 비저항의 값의 범위는 동일한 암상에서도 매우 넓은 범위에 해당되므로 전기 비저항만으로 암상을 구분하는 행위는 대단히 어렵다. 지하 매질 중 가장 전기적 특성에 뚜렷한 영향을 주는 인자는 지하수이며, 이러한 이유로 전기 비저항 탐사는 전통적으로 지하수 조사에 적극적으로 활용되어오고 있다. 국내의 경우, 전기 비저항 탐사는 지구물리 탐사 중 가장 많은 물량의 조사가 수행된 탐사임에도 불구하고, 단편적인 지역에 대한 전기 비저항 분포 분석이 수행되었을 뿐 전반적인 국내 암층에 대한 전기 비저항 분포가 규명되고 있지 않은 점은 매우 아쉬운 일이다. 그러나 현재까지 본인의 경험과 획득 자료에 대한 해석 등으로 미루어, 수천 ohm-m 이상의 전기 비저항치의 경우, 지하수와의 연계성이 거의 없는 지층으로 판단되며, 수십 ohm-m 또는 그 이하의 값을 갖는 지층의 경우는 대부분 지하수와의 연관성이 있는 지층으로 판단 할 수 있다. 특히 수 ohm-m의 값을 갖는 경우는, 염수나 오염된 지하수와의 연관성을 의심하여야 하며, 변성 작용이 심한 지역의 편암에 흑연 성분 등이 협재하는 경우는 지하수 배퇴가 불량함에도 불구하고 수십 ohm-m 이하의 낮은 비저항이 관측되는 경우가 간혹 있음을 주의하여야 한다. 가장 까다로운 범위의 비저항 값은 수백 ohm-m의 전기 비저항을 갖는 경우로 이에 대해서는 시추 자료나 타 지구물리 탐사 자료를 통한 보완 해석이 병행될 필요가 높다. 앞으로 전반적인, 국내 지질에 대한 전기 비저항에 대한 분석 및 분포 파악은 전기 비저항 탐사에 종사하는 모든 사람들이 서로 협조하여 해결해 나가야 하는 주요 과제라고 판단된다.

지하의 매질은 암석의 종류, 암석의 상태, 지하수와의 관계 등에 따라 동일한 지질이라고 해도 다른 비저항 값을 갖게 된다. 결국, 지질학적인 요인이 지층의 전기 비저항치를 변화시키게 된다. 대표적인 지질학적인 변화 요인에 따른 전기 비저항치의 변화 양상은 다음 표 1.1과 같다고 보고되어있다.

표 1.1 지질현상에 따른 전기 비저항치의 변화 양상

지질 현상	비저항 변화 (증가 □ ,감소 □, 증가 혹은 감소 □)
점토 변질화	□
풍화	□
용해	□
경화	□
단층작용	□
탄산염 침전	□
해수침입	□
실리케이트화	□
전단작용	□
변성작용	□

1.3 겉보기 전기 비저항 및 전기 탐사 배열

(Apparent Resistivity and Array)

이론적인 전기비저항 탐사의 접근은 1개의 단순 전극에서 흘러 들어가는 전류가 야기 시키는 전위 분포로 설명되지만 실제적으로는 복수의 전극을 이용하여야만 측정이 가능하므로 보통, 4개의 전극을 이용하여 탐사가 수행된다. 이중 2개의 전극은 양전류 전극(C+), 음전류 전극(C-)으로 전류가 지하로 흘러 들어가고, 나오는 위치가 된다. 나머지 두 개의 전극은 전위 전극으로 두 지점의 전위차([eqn: V_{x_1} -V_{x_2}])를 측정하기 위해 설치된다. 두 지점의 전위차를 측정하는 이유는 전위 측정은 항상 상대적인 측정을 통해 수행되기 때문이다. 보통, 양의 전위로 취급되는 부분을 양전위 전극(P+: [eqn: V_{x_1}] 해당), 음의 전위로 취급되는 부분을 음전위 전극(P-: [eqn: -V_{x_2}] 해당)으로 명명한다.

기본적인 전기 비저항 탐사는 위에 언급한 4개의 전극을 운용하는 방식(간혹, 4개 전극에 보조적인 추가 전위 전극, 또는 무한히 먼 전극 등을 가정하여 전극의 수를 변화시키기도 하지만 일반적인 방식은 아님)에 따라 전통적으로 특정한 배열명을 갖는다. 이러한 특정 배열 방식은, 층상 구조 해석 시에 수행하여야 할 많은 계산을 미리 정형화하여 기본 해석용 커브와 비교하여 해석하기 위해 고집되어온 면이 있으나, 최근 들어 층상 구조 해석을 위한 계산을 전산기에 의해 수행할 수 있게 되면서 반드시 규칙에 의한 전극 위치를 고집할 필요가 없게 되었다.

대표적인 전기 비저항 탐사 배열방식은 슐럼버져 방식, 웨너 방식, 쌍극자 방식 등을 들 수 있다(그림 1.4 참조).

그림 1.4 대표적인 전기 비저항 탐사 배열 방식

매우 특별한 경우를 제외하면, 전기 비저항 탐사는 현장 관측 시에 저항(ohm)을 측정하며, 측정된 저항은, 전극의 배열 방식에 따라 보정되어 겉보기 비저항치로 환산된다. 환산된 겉보기 비저항치는 특정한 위치에 도시되는데 이 특정한 위치의 선정은 일종의 약속일 뿐 절대적인 것이 아니므로 현장 관측치의 기록 방식과 해석 수행시의 기록 방식을 동일하게만 유지하면 된다. 겉보기 비저항의 이해와 이를 표현하는 방식의 이해는 전기비저항 탐사에서 가장 중요한 부분이다.

겉보기 비저항을 정의하면 □불균질한 매질에서 관측된 저항치를 균질한 매질에서 관측된 저항으로 가정하여, 이에 상응하는 비저항치로 환산한 값□이라고 할 수 있다. 겉보기 비저항치의 이해는 겉보기 밀도와 비유하면 쉽게 이해될 수 있다. 만약 10cm3의 순수한 물(무게 10g, 밀도 1g/cm3)이 있고, 30cm3의 해수(무게 30.6g, 밀도 1.02g/cm3)가 있다고 가정하자. 물과 해수가 완전히 합쳐져 있는 상태에서 부피와 총무게를 측정하여 밀도를 재면 결국 총무게 40.6g / 총부피 40cm3 이므로 밀도는 1.015 g/cm3이된다. 즉 위와 같은 조건으로 혼합된 물과 해수의 겉보기 밀도는 1.015 g/cm3 인 것이다. 즉 겉보기 밀도는 총체적인 무게와 부피를 통해 관측한 대상의 밀도를 측정하는 것으로 만약 위의 경우 물과 해수의 부피의 비율이 달라지면 또 다른 값을 갖게된다. 물론 동일한 물질의 경우, 관측 부피를 계속 변화시키면서 겉보기 밀도를 구하여도 일정한 값(이 경우 겉보기 밀도 자체가 실제 밀도)이 되지만 겉보기 밀도는 어떠한 물질이 얼마만큼 관측 대상에 포함되느냐에 따라 달라지는 것이다.

겉보기 비저항치도 이와 유사한 개념으로 불균질 매질의 경우, 특정한 전극 배열 위치에서 환산된 비저항치와 전극 배열 위치를 다르게 한 경우 틀려지는 값이다. 물론 완전히 균질한 매질에 대해서는 어떠한 배열 방식을 사용하여도 겉보기 비저항치가 변하지 않는다. 마치 순수한 물의 밀도 측정 시에 어떠한 부피의 물에 대한 밀도를 측정해도 일정한 값을 갖는 것과 같다.

전 절에서 이미 언급하였듯이 반무한 균질 매질에 대한 전위는[eqn: V={ I rho }/{ 2 pi r}]로 표현된다. 겉보기 비저항치를 환산하기 위해서 사용되는 기본식은 지하의 불균질한 매질을, 균질한 매질로 가정하여 수행된다. 단, 실제 균질 매질의 비저항치를 [eqn: rho]로 표현하기 때문에 불균질 매질을 균질 매질로 가정하여 표현하는 겉보기 비저항치의 경우는 첨자 a(apparent)를 사용하여 [eqn: rho_a]로 표현한다. 즉 우리가 관측한 저항이 다음 (1.35)의 법칙에 따라 야기된 전압 차이로부터 생성된다고 가정한다.

[eqn: V={ I rho_a } over { 2 pi r}`` cdots cdots (1.35)]

현장에서 관측된 저항치를 통해 겉보기 비저항 값을 환산하기 위해서는 전류 전극들과 전위전극들의 상대적인 위치를 알아야한다. 이것은 결국, 전류 전극에서 전위 전극까지의 거리들이 관측된 저항 값을 겉보기 비저항 값으로 변화시키는 요소로 작용한다는 의미이다. 전류 전극부터 전위 전극까지의 거리들은, 겉보기 비저항 값을 가정한 전위 분포식 [eqn: V={ I rho_a }/{ 2 pi r}] 에 따라, 겉보기 비저항 값으로 환산된다. 이 과정을 이해하기 위해서는 전기 비저항 탐사에서 관측되는 저항이 어떠한 과정을 통해 획득되는지 알아야 한다.

그림 1.5는 현장에서 전기탐사를 수행하기 위해 배열된 전극의 분포를 예로 보여준다. 그림에서 C+는 양전류 전극, C-는 음전류 전극, P+는 양전위 전극, P-는 음전위 전극을 뜻한다. 경우에 따라서는 C+를 A 또는 C1, C-를 B 또는 C2, P+를 M 또는 P1, P-를 N 또는 P2로 표기하기도 한다.

그림 1.5 일반적인 전기 비저항 탐사 전극 배열 방식

지표면이 평탄하다고 가정하는 경우, 겉보기 비저항치를 구하기 위하여 필요한 전극배열 정보는, 양전류 전극에서 양전위 전극까지의 거리(r1), 양전류 전극에서 음전위 전극까지의 거리(r2), 음전류 전극에서 양전위 전극까지의 거리(r3), 음전류 전극에서 음전위 전극까지의 거리(r4)이다.

전기 탐사 장비에 기록되는 값은 P+ 전극과 P- 전극의 전위차, 장비가 지하로 흘려준 전류량이며, 이 전위차를 전류량으로 나눈 값이 저항이 되고 이 값이 장비에 표시된다. 탐사가 수행되는 현장에서는 지하의 비저항 분포를 알 수 없으므로 조사 대상 매질이 균질한 것으로 가정하여, 단순히 전극 거리에 따른 전위치를 가정한 후, 이 값으로부터 겉보기 비저항치를 구하게 된다. 조사 대상 매질을 균질하다고 가정한 경우 P+ 전극에서의 전위는 C+의 +I 전류의 영향과 C-의 -I 전류의 영향을 받으므로,

[eqn: V(P+) = I rho_a` [ {1 over {2 pi r_1} - 1 over {2 pi r_3}}] ``cdots cdots (1.36)]

로 표현되며, 마찬가지로 P- 전극에서의 전위는

[eqn: V(P-) = I rho_a` [ {1 over {2 pi r_2} - 1 over {2 pi r_4}}] `` cdots cdots (1.37)]

로 표현되므로 결국 최종적으로 관측되는 전위차는

[eqn: delta V &= V(P+)-V(P-) ## &= I` rho_a`left[ [ {1 over {2 pi r_1} - 1 over {2 pi r_3}}] - [ {1 over {2 pi r_2} - 1 over {2 pi r_4}}] right] ## &= {I` rho_a} over {2 pi}`left[ {1 over r_1 - 1 over r_3} - {1 over r_2 + 1 over r_4} right]`` cdots cdots (1.38)]

로 표현된다. 이 식에서 탐사에 사용된 전류치는 조사자가 알고 있으며, 관측 저항치는 관측된 전위차를 조사에 사용한 전류치로 나눈 [eqn: {delta V} / I] 값을 사용한다. 결국 현장에서 기록하는 값은 저항치로

[eqn: R = {delta V} over I = { rho_a} over {2 pi}`left[ {1 over r_1 - 1 over r_3} - {1 over r_2 + 1 over r_4} right] `` cdots cdots (1.39)]

이며, 여기에서 겉보기 비저항치를 풀어내면,

[eqn: rho_a = {2 pi R} over {left[ {1 over r_1 - 1 over r_3} - {1 over r_2 + 1 over r_4} right]} = R cdot k`` cdots cdots (1.40)####```` rm { 여기에서 }```k= {2 pi} over {left[ {1 over r_1 - 1 over r_3} - {1 over r_2 + 1 over r_4} right]}]

로 표현되며, 실제 관측치에 곱해지는 [eqn: k]값을 기하학적 보정치(geometrical factor)라고 명명한다. 이 식을 통해, 관측된 R의 값과 전극간의 거리를 알면 현장에서 쉽게 관측된 저항을 겉보기 비저항치로 환산 할 수 있음을 알 수 있다.

전통적인 전기탐사 배열방식의 하나인 웨너 방식을 예로 들어 실제 겉보기 환산하는 방법을 설명하여 보자. 웨너 방식은 4개의 전극이 모두 일정한 간격(그림1.4에서는 a)로 배치되므로 r1=a, r2=2a, r3=2a, r4=a 로 이 값을 통해 기하학적 보정치 [eqn: k]를 구하면, 그 값은 [eqn: 2 pi a]가 되므로 웨너 방식으로 측정한 전기 비저항 탐사의 관측 저항치에 [eqn: 2 pi a]를 곱하면 겉보기 비저항치가 된다. 이러한 방법으로 환산된 겉보기 비저항치는, 수직 전기 탐사 일 경우,  보통 횡축을 a(혹은 a의 1.5배)로하고 종축을 겉보기 비저항치로 하는 도면으로 표현된다(그림 1.6 참조). 마찬가지로, 어떠한 배열도 위의 r1, r2, r3, r4에 해당되는 값을 선정하여 기하학적 보정치를 관측된 저항치에 곱하여주면 수행된 측정에 대한 겉보기 비저항치를 구할 수 있게 된다.

2차원 탐사인 경우 탐사자료는 전극들의 중심점을 수평 위치로 하고 전극간의 거리간격을 고려한 깊이를 수직 위치로 하는 지점에 겉보기 비저항치로 환산되어 표현된다.

1차원적인 전기 비저항 탐사는 탐사 대상체에 대한 수직적인 비저항 변화를 감지하는 수직 전기탐사와 수평적인 비저항 변화를 감지하는 수평전기탐사로 대분 된다. 수직전기탐사의 경우는 항상 일정한 중심점을 기준으로 전극의 범위를 벌려나가면서 탐사를 수행하여 지하 수직 하부의 정보를 획득하며, 수평전기탐사의 경우는 상대적으로 일정한 전극배열 상태에서 탐사의 중심점을 수평적으로 평행 이동하면서 자료를 획득하여 지층의 수평적인 변화 양상을 관측하게 된다. 결국 수직 탐사는 전극의 벌린 간격 정도에 대해 관측된 값을 표현하는 방식을 취하여 자료를 도시하며(그림 1.6), 수평 탐사는 수평적인 탐사 중심점에 따라 관측값을 표현하는 방식을 통해 획득 자료를 도시한다(그림 1.7).

그림 1.6 수직 전기 비저항 탐사 자료 예

그림 1.7 수평 전기 비저항 탐사 자료의 도시 예

2차원적인 전기비저항 탐사는 전극의 배열을 통해 지하의 특정 단면에 대한 정보를 획득하는 방식을 일컫는다(그림 1.8 참조). 그림에서 최상단과 중단은 절대적인 표현이 아니라 전술한 바와 같이 약속된 방법에 의한 위치에 겉보기 비저항치를 표현한 것이며, 계산을 통해 해석된 지하 단면(여기의 비저항치는 추정된 실제 비저항에 해당)의 경우는 해석에 따라 차이가 있을 수 있으나 절대적인 형태에 해당된다.

그림 1.8 2차원 전기비저항탐사 자료 및 해석 예

2차원적인 전기비저항 탐사는 대부분의 2차원 구조가 일반적인 해석해를 갖지 못하므로 수치적으로 해를 구하는 방식(유한 요소법, 유한 차분법, 경계 요소법 등)에 의해 지하의 정보를 획득, 해석한다. 이중 유한 차분법에 의한 실제 계산법과 이론적 고찰은 후술하기로 한다. 최근 들어서는 3차원적인 지하구조의 파악을 위한 3차원 탐사에 대한 연구가 활발히 수행되고 있어 십 수년내에 3차원 탐사 방식도 현장 적용이 가능할 것으로 예상된다.

여담이지만, 최초 전기 탐사를 실용화 시킨 Schlumberger의 이름으로부터 유래된 슐럼버저 배열(본인은 아직까지 Schlumberger가 최초로 현재의 슐럼버저 배열을 이용했다는 자료를 가지고 있지 못하다)은 현재까지의 많은 배열 방법 중 나름대로 복잡한 지형 조건, 접지 조건, 지질 조건에 대해서 범용적으로 적용이 가능하며, 현장 적용성이 매우 탁월하다. 현재까지 알려진 최초의 실용적인 전기 비저항 탐사의 자료는 1912년 9월 Conrad Schlumberger가 Normandy Val-Richer 의 가족 별장에서 행해진 조사 자료로써  이 자료는 전류 전극의 위치에 대한 등 전위 분포를 그려 놓은 것이다. 물론, 이때의 전기 탐사는 배열법이라던지 겉보기 비저항이라던지 하는 개념이 없었으며, 단순 전위 분포 파악을 통한 지하 매질의 추정이었을 것이다. 그후 여러 가지 시도에 의해 필요한 배열 및 개념들이 정립되었다. 최초의 전기 탐사 관련 선구자들의 노력과 실패, 계측 장비의 한계로 인한 애로 등 다양한 이야기와 이 후의 전기 탐사의 이론적 도출을 위해 노력한 많은 선각자들의 이야기는 Allaud and Martin의 □Schlumberger - The History of a Technique (Jonh Wiley & Sons, 1977)"에 재미(?)있게 정리되어있다. 전기 비저항 탐사 또는 지구물리 검층 분야에서 일하는 분들이 한번쯤은 이 책에 있는 이야기들을 접하고 지구물리 전기 비저항 탐사라는 분야에 대해 자부심을 느낄 수 있었으면 하는 것이 본인의 바램이다.

1.4 전기 비저항 탐사 장비 제원

(Specification of Resistivity Meter)

전기 비저항 탐사 장비의 제원을 이해하는 것은 전기 비저항 탐사를 이해하는데 도움이 된다. 그 동안 그 시대의 기술력에 맡게 여러 가지 다양한 전기 비저항 탐사 장비들이 개발되어 왔다. 본 절에서는 이 들 중 현재, 국내에서 가장 많이 이용되고 있는 ABEM사의 장비(Terrameter SAS 시리즈), OYO의 장비(McOHM 시리즈) 및 Advanced Geosciences사의 장비(STING 시리즈) 및 이와 관련된 부가 장치와 관련된 제원만을 검토하기로 한다.

전기 비저항 탐사 장비의 제원을 검토하기 위한 주요 사항은 1) 최대 출력 전압, 2)사용 가능 전류, 3) 측정 가능 전압 범위 및 측정 가능 전압 해상력 이라고 할 수 있다.

1) 현재, 최대 출력 전압은 특별한 부가 장치의 부착이 없는 경우, 보통 800 V 또는 320 V (STING R1), 400 V (McOHM 시리즈, 정확히 말하면, ±200 V), 800 V (SAS 4000, 정확히 말하면 ±400 V) 등 대체로 500 V 정도의 순간 출력 전압을 생성 할 수 있다. 이 최대 출력 전압은 특정한 매질에 전류를 흘려 보내 줄 수 있는 한계를 결정 지어준다. 만약 500V를 출력할 수 있는 장비로 10mA의 전류를 흘려보내고 싶다면 전류전극간의 저항이 당연히 50,000 ohm 이하 여야 한다(주의: 전류 전극 사이의 저항은 탐사기에 표시되는 측정 저항과는 차이가 있음. 탐사기에 표시되는 측정 저항은 단순히 전위 전극사이에 걸린 전압차를 흘려준 전류로 나누어준 값임). 만약 전류 전극간의 저항이 이보다 크다면 탐사기는 단선이 되었다는 오류메시지나 충분한 전류를 흘려줄 수 없다는 메시지를 관측자에게 내보낸다. 그러므로 매우 저항이 높은 대지에 대한 측정을 원할히 수행하고자 하는 경우나 매우 높은 출력을 발생할 수 있는 장비가 유리하다.

2) 사용 가능 전류는 보통 장비마다 5개 이상의 전류를 선별적으로 사용할 수 있도록 고안되어있다. McOHM 시리즈의 경우는 0.2부터 200 mA 사이의 값 중에서 선별하여 사용할 수 있으며, SAS 4000의 경우 1부터 1000 mA 사이의 값 중에서 선별이 가능하다. 또한 STING R1의 경우, 1부터 500 mA 사이의 값 중에서 선별이 가능한 것으로 보고되어 있다. 사용 전류의 값이 클수록 잡음대 신호의 비율이 좋아지므로 가능한 높은 전류의 사용이 추천되지만, 계속해서 높은 전류를 사용하는 경우는 전지의 사용 시간이 매우 짧아지고 경우에 따라서는 회로적 이상 현상(전지가 충분한 전압을 발생시키지 못하는 경우에 장비에 따라 종종 발생됨. 흔히 내부의 스위치의 일종인 릴레이 부분이 손상되거나 오동작하는 문제 발생)이 생기기도 한다.

3) 측정 가능 전압 범위는 비저항 탐사기의 전압 측정기의 최대 측정 전압치를 말한다. 보통 이 측정 전압 범위는 측정 전압에 대한 해상력과 서로 보완적이므로 이 값이 넓으면 정확도가 떨어지고 반대로 측정 가능 전압 범위가 좁으면 정확도는 증가하는 특성을 보인다. 그러므로 보통 가능 측정 전압 범위가 몇 단계의 범위에서 자동으로 조절되는 형태를 취하는 경우가 많다. ABEM SAS 4000의 경우, 0-250mV, 0-10V, 0-400V의 3단계 전압 측정 범위가 자동으로 조절되면서 전압이 측정되며(이 경우 최대 측정 전압은 400V), McOHM Model-2226 경우, 0-20mV, 0-200mV, 0-2000mV의 3단계, McOHM Model-2115의 경우, 0-600mV, 0-6000 mV의 2단계 범위가 자동 조절된다고 보고되어있다. 또한 STING의 경우, 0-500V 범위에 대해 자동 조절되면서 전압 측정이 가능하다. 보통 장비에 대한 규격 설명서에는 그 장비가 갖는 최대의 이론적인 측정 전압 해상력을 보여주며, 이 값들은 수십 nV (STING, SAS의 경우) 이거나 수십 [eqn: mu]V (McOHM)의 경우로 현장의 측정에서의 수 천 내지 수 백만분의 1의 정확도를 갖는다고 되어있다. 그러나 이 값은 주로 이론적인 값이며, 측정 가능 전압의 크기에 따라 크게 달라지므로 크게 의미가 없다. 보통 현장 측정시에는 최대 측정 전압에 대해 1내지 0.1% 정도의 해상력 한계를 갖는다고 판단하는 것이 무난하다.

이밖에도 전기 탐사기의 제원 중 한번쯤 검토해야하는 사항은 운영 온도(ABEM SAS 400의 경우, 영하 5도에서부터 영상 50도; 그러므로 매우 추운 기온에서 관측을 수행하는 경우는 탐사기의 보온 조치가 요망됨), 중합 횟수(내부적으로 측정하는 횟수), 측정치 기록 가능 횟수(최근 장비의 경우 다중 전극에 대해 자동 측정이 수행되며, 이 측정된 자료가 탐사 장비의 메모리에 얼만큼 기록될 수 있는가 하는 용량; 특히 전기 비저항을 이용한 모니터링 작업을 수행하여야 하는 경우에는 주요 검토 사항), 잡음 제거 기능(특정 주파수 대역에 의한 효과 제거, 주로 동력선으로 사용되는 50Hz, 60Hz 신호 제거 효과 및 고주파 제거 효과등), 주기 측정 시간(보통 Cycle time 또는 pulse length라고도 하며, 전류를 흘려주고 전압을 측정하는 주기), 출력 전류의 정확도 등이 있다.

특히 최근의 모든 전기 비저항 탐사기는 특정 전류 전극이 양, 또는 음으로 고정되지 않으며(이렇게 극이 고정되면, 지하에 존재하는 이온들이 전극에 계속적으로 달라 붙어 점차 전류를 흘려주기가 힘들게 되는 현상(보통 분극현상이라고 불림)이 발생되어 측정 효율이 급격히 저감됨), 시간적인 주기를 갖고 극을 바꾸면서 순간 순간 전압을 측정하고 이들의 변화 양상을 통해 자연 전위에 의한 효과를 제거하며, 측정의 정확도를 향상시키는 방법을 사용한다. 보통 외부적으로 표현되는 한번의 측정치는 내부적으로 양,음,양,음의 4회의 전극 교대를 통해 측정되는 값들을 통해 구해지는 평균치인 경우가 많다. 이러한 현상은 전류 전극에 오실로스코프나 디지털 전류계를 부착하면 확인이 가능하며, 현장에서는 전류 전극에서 전류 신호가 발생될 때, 함께 발생되는 전자기파 신호가 무전기 등에 감지되는 현상을 통해서도 쉽게 감지 가능하다.

2. 층상 구조에 대한 전기 비저항 탐사 이론

2.1 기본 미분 방정식의 유도

(Derivation of Governing Differential Equation)

층상 구조에 대한 전기 비저항 탐사에 대한 이해는 기본적으로 층상 구조를 갖는 지하에 대해 지표에 위치한 특정 지점에서 유입되는 전류에 의해 야기되는 지표의 전위 분포를 파악하는 일과 동일하다. 실제 모든 배열에 대해 1차원 층상 구조 해석을 수행하고자 하는 경우는 위의 문제를 명확히 해결하는 것이 최우선 선결과제이다. 층상 구조에 대한 보다 발전적인 접근은 지하의 층들이 일정한 비저항을 갖지 않고 변화하는 경우 등으로 확장시킬 수 있으나 이러한 접근은 점이적인 경계를 갖는 특수한 경우에 국한되므로 여기에서는 취급하지 않는다.

우선 층상 구조 해석을 위해서는 전류의 연속 방정식을 전위의 형태로 표현하는 과정이 필요하다. 그러나 전류의 연속 방정식이 기본적으로 전류 밀도에 의해 표현되므로(식 1.5 참조) 전류 밀도와 전위의 관계를 먼저 살펴보기로 한다.

전류 밀도와 전기장의 세기와의 관계는 이미 전자기 구성 관련식 중 세 번째 (식 1.27)에서, 일반적인 단순 선형매체의 경우(거시적인 측면에서, 대부분의 지질조사 대상체는 이 경우에 포함된다고 할 수 있음), 다음과 같은 관계가 있음을 언급하였다.

[eqn: bold J = sigma bold E`` cdots cdots (2.1)]

한편, 전기장 세기는 전위의 공간적 변화율과 비례하며, 감소하는 방향을 갖고 있으므로(이것이 실제적인 전위의 정의임), 다음과 같은 형태로 표현이 가능하다.

[eqn: bold E = - del V`` cdots cdots (2.2)]

이제 이미 알고 있는 다음의 전류의 연속 방정식에 대해

[eqn: TRIANGLED cdot bold J = {partial rho} over {partial t} delta (bold r - bold r_s ) `` cdots cdots (2.3)]

특별히 전하가 존재하지 않는 경우에 대해서 생각하면, 우변은 단순히 영으로 취급할 수 있다. 즉,

[eqn: TRIANGLED cdot bold J = 0`` cdots cdots (2.4)]

이제 (2.4)식의 [eqn: J]를 (2.1) 및 (2.2)를 이용하여, [eqn: V]로 치환하면,

[eqn: del CDOT (sigma `(-del V``)) &=0 ``cdots cdots (2.5)]

로 표현된다.

이제 이 식의 실제적인 형태를 파악하기 위하여, 다음 그림 2.1과 같이 특정점에 전류가 주입되고 그 점으로부터의 지표면 거리를 [eqn: r]이라고 정의하는 상황을 설정하여 보자.

그림 2.1 층상 구조에 대한 전위 분포 해석을 위한 지층 상황 및 전극 설정

이제, 위의 (2.5) 식을 어떠한 좌표계로 표현 할 것인지를 결정하자. 위와 같은 층상 구조에서 한 점원의 형태가 존재하는 물리적인 문제는 당연히 이 점을 통과하는 지표면에 수직하는 축(z축)에 대해 대칭성을 가지고 있다. 다시 말해, 축거리와 심도에 대해서만 물리적인 값들의 변화가 존재하며, 축에 대한 회전각도(원통 좌표계의 보통[eqn: theta])에 대해서는 변화가 존재하지 않는다. 그러므로 원통 좌표계를 이용하여 (2.5)식을 풀어내는 것이 다른 3가지 성분을 모두 고려해야하는 타좌표계를 사용하는 것보다 훨씬 효율적이며, 해석적인 해를 구할 수 있는 가능성이 높다.

결국, 식 (2.5)를 원통좌표계를 통해서 편미분 방정식 꼴로 표현하면, 아래와 같은 기본 미분 방정식이 유도된다. 물론, 이식은 전하의 존재가 없는 공간에 대한 식이며, 전류 전극이 놓이는 바로 그 위치에서는 우변을 특별히 처리해야 하는 기법이 필요하다. 또한 이 처리 기법이 경계조건으로 작용하여, 실제 값을 설정하는 데 기여하게 된다.

[eqn: {partial^2 {V} } over {partial r^2 } + {1 over r} {partial V} over {partial r} +{partial^2 {V} } over {partial z^2 } + { 1 over sigma} {partial sigma} over {partial z} {partial V} over {partial z} = 0 `` cdots cdots (2.6)]

2.2 미분 방정식의 해

(Solution of Governing Differential Equation)

행복(?)하게도 (2.6)식 형태의 미분방정식은 일반적인 해법이 훌륭하신 선각자들에 의해 알려져 있다. 비록, 그 해법이 알려져 있지만, 잘 정리된 과정이 전기 비저항 탐사 관련 문헌에 아직 많이 보고되어 있지 못하므로, 이 미분 방정식의 해법을 위해 고생할 또는 고생하고 있는 분들을 위해 단계별로 설명하기로 한다(머리가 많이 아프신 분은 중간 과정을 모두 이해하려고 할 필요가 없음).

일반적인 편미분 방정식을 전미분 방정식의 형태로 바꾸기 위해서 사용되는 변수 분리 방법(separation of variables)에 의해 거리 [eqn: r]과 깊이 [eqn: z]에 대한 함수인 전위 [eqn: V]가 다음 (2.7)과 같은 두 개 함수의 곱의 형태로 된다고 가정하자(물론, 이렇게 표현 안될지도 모른다. 그러나, 만약 이렇게 해서 최종 얻어진 결과가 위의 기본 미분 방정식(2.6)을 만족한다면 아무 문제가 없다. 이러한 결과 예측은 보통 일반적인 단계의 논리로는 잘 설명이 되지 않는 부분이지만, 몇 몇 수학적인 해법 -예를 들어 인수분해와 같이 경험에 의해 형태를 예측하여, 인수를 분해하고 이 들 인수의 곱이 최초의 다항식 꼴로 표현이 된다면 답으로 인정되는 것과 같이-을 위해서는 꼭 필요한 것이다. 사실, 이런 부분은 경험과 암기, 그리고 직관에 의해(by intuition) 답을 찾느냐 못 찾느냐가 결정된다. 안타깝게도 평범한 사람의 경우는 직관에 의한 해법을 구하기가 실제적으로 어렵지만).

[eqn: V(r,z) = R(r)Z(r)`` cdots cdots(2.7)]

이제 본 (2.7)식을 기본 미분 방정식 (2.6)에 대입하면,

[eqn: { d^2}R} over {dr^2 } + { 1} over { r} { dR} over {dr } + lambda^2{R = 0 `` cdots cdots (2.8)]

및

[eqn: { d^2}Z} over {dz^2 } + {1} over {r} { d sigma } over {dz } {dZ } over {dz } - lambda ^2 = 0 `` cdots cdots (2.9)]

를 얻게된다.

이제, 위의 (2.8) 및 (2.9)의 특정한 경우의 해, [eqn: R]과 [eqn: Z]가 구해지면, 이들과 상수의 곱 역시 해가되며, 또한 이러한 해들의 합 역시 해가 되므로 일반 해(general solution)는 다음 (2.10)과 같은 형태를 갖게된다. 물론, 이 일반 해는 몇 가지 경계 조건으로 제한 받게되어 구체적인 특별한 해(particular solution)를 갖게된다.

[eqn: V(r,z) = INT _{0}^{ INF } F(lambda) R(lambda,r) Z(lambda,z) d lambda `` cdots cdots (2.10)]

여기에서 [eqn: lambda] 분리 상수(separation constant)로 어떤 값이며, 적당히 미분 방정식을 존재하기 위해 조절되는 값이라고 생각하면 된다.

(2.8)식의 해는 이미, (2.11)식과 같은 1종 0차 베셀 (1st kind 0th order Bessel) 함수로 표현된다는 것이 알려져 있으므로 더 이상 깊게 생각하지 말도록 하자(어떤 측면으로 보면, 베셀 함수 자체가 위의 미분방정식을 만족하기 위해 정의되었다고 볼 수도 있음). 약간의 사족을 붙여 베셀 함수를 설명한다면, 베셀 함수는 특수 함수(special function)로 약간 복잡하고 다양한 성질을 가지고 있지만 그냥 sin, cos 등과 같은 함수 일뿐이며, 필요하다면, 그 값을 테이블이나 계산기로 구할 수 있는 함수 정도로 받아들이기 바란다. 그래도 직성이 안 풀려서 베셀 함수와 관련된 특성에 대해 한번 정통하고 싶다면, Watson, S. N.의 □A treatise on the theory of Bessel functions (1958; Cambridge Univ. Press)"에 도전(?)해 볼 수 있겠지만 가능하면 꾹 참고 다른 일에 투자하는 것이 좋을 성싶다.

[eqn: R( lambda,r) = c ``J_0 ( lambda r)`` cdots cdots (2.11)]

여기에서 [eqn: J_0]는 제1종 0차 베셀 함수

전미분 방정식 (2.9)는 깊이에 대한 변화가 없는 특정한 층 내에서의 문제로 생각하면 미분 방정식을 보다 단순화시킬 수 있다. 우선 그림 2.1의 [eqn: k]번째 층 내에서만 (2.9)식을 생각해보자. 즉,  [eqn: h_k-1] < [eqn: z] < [eqn: h_k] ; [eqn: sigma _k = { 1} / { rho _k }] 경우, (2.9)식은

[eqn: { d^2 Z} over {dz^2 } - lambda ^2 Z = 0`` cdots cdots (2.12)]

으로 표현되며, 이 식의 해는 매우 단순한 지수 함수 꼴인

[eqn: Z( lambda ,z) = c` exp( lambda z),] [eqn: Z( lambda ,z) = c`exp(- lambda z)`` cdots cdots (2.13)]

을 갖는다.

결국, 층상 구조의 경우, [eqn: k]번째 층 내에서의 전위에 대한 일반 해는 다음과 같은 형태를 취하게 된다.

[eqn: V_k = INT _{ 0}^{ INF } [`A_k ( lambda )exp( lambda z) +B_k ( lambda )exp(-lambda z)}`]`J_0 ( lambda r) ``cdots cdots (2.14)]

2.3 층상 구조에 대한 경계 조건

(Boundary Conditions for Layer Structure)

일반 해 (2.14)를 실제적인 수치 값으로 표현하기 위해서는 아직 정확히 설명되지 않은 [eqn: A_k (lambda)] 및 [eqn: B_k (lambda)]를 구체화하여야만 한다. 이러한 작업은 층상 구조에 대한 몇 가지 경계조건들을 맞추어 나가는 과정을 통해 수행된다.

경계 조건은 다음과 같은 4 가지이다.

1) 전위는 각 층의 경계부에서 연속이다.

[eqn: V_k = V_k+1 & (k=1,2,...., N-1) `` cdots cdots (2.15)]

2) 전류 밀도의 수직 성분은 각 층의 경계부에서 연속이다.

[eqn: { 1} over { rho _k } { PARTIAL V_k} over { PARTIAL z } = { 1} over { rho _k+1} { PARTIAL V_k+1} over { PARTIAL z } `` cdots cdots (2.16)]

3) 지표에서의 전류 밀도의 수직 성분은 전류 전극이 위치하는 매우 가까운 인접 부위를 제외하고는 모두 영이다.

[eqn: - { 1} over { rho _1} { PARTIAL V_1} over { PARTIAL z} vert _z=0 = { I} over {2 pi } { delta (r)} over {r } `` cdots cdots (2.17)]

4) 무한 깊이에서의 전위의 값은 0이다.

[eqn: lim from {z -> inf } V(r,z) = 0 `` cdots cdots (2.18)]

2.4 층상 구조에 대한 특별 해 유도

(Derivation of Particular Solution for Layer Structure)

이제부터 주어진 경계 조건을 만족하는 특별 해를 일반해로부터 구해내는 방식에 대해 검토하기로 한다.

우선, 일반 해 (2.14)식을 첫 번째 층 내부에서의 전위 형태로 표현하면,

[eqn: V_1 = INT _{ 0}^{ INF } [A,( lambda )exp( lambda z)+B_1 ( lambda )exp(- lambda z)]~J_0 ( lambda r)d lambda `` cdots cdots (2.19)]

이며, 이 식(2.19)를 경계 조건 3)인 (2.17)식에 대입하면,

[eqn: - { 1} over { rho } INT _{ 0}^{ INF } [A_1 ( lambda )-B_1 ( lambda )] lambda J_0 ( lambda r)d lambda = { I} over {2 pi r } delta (r) `` cdots cdots (2.20)]

이 식은 [eqn: delta] 함수에 대한 푸리에-베셀 변환 관계에 의해 다음과 같은 식 (2.21)로 단순화 된다.

[eqn: B_1 ( lambda ) - A_1 ( lambda ) = {rho _1 I } over {2 pi } `` cdots cdots (2.21)]

이제 (2.21)식을 이용해, [eqn: B_1]을 소거하여 식 (2.19)에 대입하면,

[eqn: V_1 &= INT _{ 0}^{ INF } LEFT { A_1 ( lambda )[exp(- lambda z )+exp(+ lambda z)]+ { rho _1 I} over {2 pi }exp(- lambda z) RIGHT } J_0 ( lambda r)d lambda ## &= { rho _1 I} over {2 pi } INT _{ 0}^{ INF } LEFT { exp(- lambda z )+ theta _1 ( lambda )[exp(- lambda z)+ exp(+ lambda z)] RIGHT } J_0 ( lambda r)d lambda `` cdots cdots (2.22)]

여기에서 [eqn: theta _1 = { 2 pi A_1 ( lambda )} over { rho _1 I}] 임.

이제, 립쉬츠 적분(Lipschitz integral)으로 알려진 관계식, [eqn: INT _{ 0}^{ INF } exp(- lambda z)J_0 ( lambda r)d lambda=1/ SQRT { r^2 + z^2}] 을 사용하면, (2.22)식은 다음과 같이 표현된다.

[eqn: V_1 = { rho _1 I} over {2 pi } { 1} over { SQRT { r^2 +z^2} } + { rho _1 I} over {2 pi } INT _{ 0}^{ INF } theta _1 ( lambda )[exp(- lambda z)+exp(lambda z)]~J_0 (lambda r)d lambda `` cdots cdots (2.23)]

일차적으로 지표부(제1층의 최상부)에서의 전위는 식 (2.23)의 [eqn: z=0] 인 경우에 해당됨을 기억하자.

다시, 1) 및 2)의 경계조건 - (2.15) 및 (2.16)식- 과 일반해 (2.14)을 이용하면, 우선, (2.15)식에 의해 (피적분 함수만을 추려내서 정리함)

[eqn: A_k (lambda) exp(lambda h_k )& +B_k (lambda)exp(-lambda h_k ) ##&= A_k+1 (lambda)exp(lambda h_k ) + B_k+1 (lambda)exp(-lambda h_k )`` cdots cdots (2.24)]

및

[eqn: { 1} over { rho _k }&[lambda A_k (lambda)exp(lambda h_k ) - lambda B_k (lambda)exp(-lambdah_k )] #&= {1}over{rho_k+1}[lambdaA_k+1 (lambda)exp(lambdah_k ) - lambda B_k+1 (lambda)exp(-lambdah_k )] `` cdots cdots (2.25)]

를 얻게된다. 이 식들은 [eqn: k=2,3, cdots, N-1]에 대해서 성립하여야 한다.

이제, (2.24)식을 (2.25)식으로 나누어서 정리하면,

[eqn: &{A_k (lambda)exp(lambda h_k )+ B_k (lambda)exp(-lambda h_k )}over{lambda A_k (lambda)exp(lambda h_k )- lambda B_k (lambda)exp(-lambda h_k ) }###&={rho_k+1 }over{rho_k } TIMES {A_k+1 (lambda) exp(lambda h_k ) + B_k+1 (lambda)exp(-lambda h_k )}over{lambda A_k+1 (lambda)exp(lambda h_k ) -lambda B_k+1 (lambda) exp(-lambda h_k )} `` cdots cdots (2.26)]

의 관계식을 얻게된다. 이제 이 복잡해 보이는 식 (2.26)을 약간 단순화시키기 위하여, 새로운 함수 [eqn: S_k (lambda)]를 아래와 같은 (2.27) 식으로 정의하자.

[eqn: S_k (lambda) = {A_k (lambda)exp(lambda h_k-1 ) + B_k (lambda)exp(-lambda h_k-1 )} over{lambda A_k (lambda)exp(lambda h_k-1 ) - lambda B_k (lambda)exp(-lambda h_k-1 )} `` cdots cdots (2.27)]

이제, (2.27)식의 정의에 입각해서 (2.26)식의 우변을 고찰해 보면, (2.26)식의 우변은 [eqn: [rho_k+1 / rho_k ] cdot S_k+1 (lambda)]임을 알 수 있다.

또한 [eqn: x={A_k (lambda)} / {B_k (lambda)}]을 도입하여, [eqn: S_k (lambda)]를 정리하면((2.27)식의 분자 및 분모를[eqn: B_k (lambda)]로 나눈 후 정리), 다음 (2.28) 식을 얻을 수 있다.

[eqn: S_k (lambda) = {x exp(lambda h_k-1 ) + exp(-lambda h_k-1)}over{lambda x exp(lambda h_k-1 )-lambda exp(-lambda h_k-1 )}`` cdots cdots (2.28)]

[eqn: x]를 이용해 (2.26)식의 좌변을 다시 쓰면

[eqn: &{A_k (lambda)exp(lambda h_k )+ B_k (lambda)exp(-lambda h_k )}over{lambda A_k (lambda)exp(lambda h_k )- lambda B_k (lambda)exp(-lambda h_k ) }= {x exp(lambda h_k ) + exp(-lambda h_k )}over{lambda x exp(lambda h_k )-lambda exp(-lambda h_k )}`` cdots cdots (2.29)]

이며, (2.28)를 [eqn: x]에 대해서 풀어내면,

[eqn: x= -{exp(-lambda h_k-1 )~[1+lambda` S_k (lambda)]}over{exp(lambda h_k-1 )~[1-lambda`S_k (lambda)]}`` cdots cdots (2.30)]

임을 알 수 있다.

그러므로 이제, (2.26)식의 좌변 표현 (2.29)의 [eqn: x] 대신 (2.30)을 치환하고 (2.26)의 우변이 [eqn: [rho_k+1 / rho_k ] cdot S_k+1 (lambda)] 임을 고려하여 정리하면,

[eqn: {exp(-lambda h_k )-exp(-lambda h_k-1 )exp(lambda t_k ) {[1+lambda S_k (lambda)]}over{[1-lambdaS_k (lambda)]}}over{-lambda exp(-lambda h_k ) -lambda exp(-lambda h_k-1 )exp(lambda t_k){[1+lambda S_k (lambda)]}over{[1-lambdaS_k (lambda)]}}### ={rho_k+1}over{rho_k}~~S_k+1 (lambda)`` cdots cdots (2.31)]

을 얻게된다. (2.31)식 좌변 분자, 분모에 [eqn: exp (lambda h_k-1 )]을 곱해주고

[eqn: exp (lambda h_k-1 ) cdot exp (-lambda h_k ) = exp [-lambda (h_k - h_k-1 )] = exp(-lambda t_k )] 라는 점을 고려하여 (2.31)식을 다시 정리하게 되면, 결국,

[eqn: {exp(-lambda t_k )-exp(lambda t_k ) {[1+lambda S_k (lambda)]}over{[1-lambdaS_k (lambda)]}}over{-lambda exp(-lambda t_k ) -lambdaexp(lambda t_k ){[1+lambda S_k (lambda)]}over{[1-lambdaS_k (lambda)]}}={rho_k+1}over{rho_k}~~S_k+1 (lambda)`` cdots cdots (2.32)]

을 얻게된다. 다시 [eqn: exp(lambda t_k ) = E^+]로 정의하고, [eqn: exp(-lambda t_k ) = E^-]로 정의하여 (2.32)식을 정리하면,

[eqn: {-lambdaE^+ S_k (lambda)-lambdaE^- S_k (lambda) + E^- - E^+ }over{-lambda CDOT lambda E^+ S_k (lambda)-lambda CDOT lambda E^- S_k (lambda)-lambda E^- -lambda E^+ }={rho_k+1 }over{rho_k} ~S_k+1 (lambda) `` cdots cdots (2.33)]

을 얻게된다.

이제, (2.33)식을 [eqn: S_k (lambda)]에 대해서 풀어내면,

[eqn: S_k (lambda) = {rho_k (E^+ -E^- ) + rho_k+1 S_k+1 (lambda)`(-lambda E^- - lambda E^+ )}over{(-lambda E^+ -lambda E^- ) - rho_k+1 S_k+1 (lambda)`(-lambda CDOT lambda E^+ +lambda CDOT lambda E^- )}`` cdots cdots (2.34)]

이고 [eqn: rho_k+1 / rho_k = P_k]로 정의하여 정리하면,

[eqn: S_k (lambda) = {(E^+ - E^- ) + P_k S_k+1 (lambda)(-lambda CDOT E^- -lambda E^+ )}over {(-lambda E^+ -lambda E^- ) - P_k S_k+1 (lambda)(-lambda^2 E^+ + lambda^2 E^- )}`` cdots cdots (2.35)]

을 얻게된다.

여기에서 잠시, 4번째 경계 조건을 고찰해보면, [eqn: h]가 무한대로 커지면서 [eqn: exp(lambda h)]도 무한대로 커질 수밖에 없으므로 이 항을 포함하는 값에 대한 적분 형태인 [eqn: lim from { h ->0 } V_N]이 유한 값인 영을 갖기 위해서는, 결국, [eqn: exp(lambda h)]에 곱해지는 [eqn: A_N` (lambda)]의 값이 영이어야 한다. 그러므로 [eqn: A_N` (lambda)]이 영인 경우, (2.27)식에 의해,

[eqn: S_N` (lambda) = -1 / lambda`` cdots cdots (2.36)] 이 된다.

이제, [eqn: S_N `(lambda)]을 알게 되었으므로, 귀납적 정의의 형태로 표현된 (2.35)식에 의해 연속적으로 [eqn: S_2 `(lambda)]의 값까지를 구할 수 있게된다. 이제, 제1층내의 전위 분포를 나타내는 (2.22) 식과 제2층과의 경계 즉 [eqn: z=h_1] 지점에 대해, 1) 및 2)의 경계조건을 이용하면,

[eqn: {rho_1 I}over{2pi} &LEFT { exp(-lambdah_1 ) +theta_1 (lambda)[exp(-lambdah_1 )+exp(lambdah_1 )]RIGHT } ##&=A_2 (lambda)exp(lambda h_1 )+B_2 (lambda)exp(-lambda h_1 )`` cdots cdots (2.37)]

및

[eqn: {I}over{2pi} LEFT { -lambda exp(-lambda h_1 )+theta_1 (lambda)[lambda exp(lambda h_1 )-lambda exp(-lambda h_1 )``]``RIGHT } ##={1}over{rho_2 }[lambda A_2 (lambda)exp(lambda h_1 )- lambda B_2 (lambda)exp( -lambda h_1 )]`` cdots cdots (2.38)]

을 얻게되고 다시 이 두 식을 나누어서 정리하면,

[eqn: rho_1 {exp(-lambda h_1 )+theta_1 (lambda)[exp(-lambda h_1 )+exp(lambda h_1 )`]}over{-lambda exp(-lambda h_1 )+theta_1 (lambda)[lambda exp(lambda h_1 )-lambda exp(-lambda h_1 )]}=rho_2 S_2 (lambda)`` cdots cdots (2.39)]

를 얻게되고 궁극적으로 제1층의 전위 분포를 위해서 알아내야 하는 피적분 함수내의 [eqn: theta_1 (lambda)]를 풀어내면,

[eqn: theta_1 (lambda)= {-1}over{exp(2lambda h_1 ){rho_1 -lambda rho_2 S_2 (lambda)}over{rho_1 + lambda rho_2 S_2 (lambda)}+1}`` cdots cdots (2.40)]

최종적으로 (2.22)식에 [eqn: z=0]을 대입하게 되면, 지표에서의 전위 분포는 다믐 (2.41) 식으로 표현된다.

[eqn: V_1 (r)={rho I}over{2pi} INT _{ 0}^{ INF } [1+2theta_1 (lambda)] J_0 (lambda r)d lambda`` cdots cdots (2.41)]

2.5 슐럼버저 배열에 대한 겉보기 비저항

(Apparent Resistivity of Schlumberger Array)

슐럼버저 배열의 기본 형태는 그림 1.4에 주어져 있다. 여기에서 중심부터 한쪽 전위 전극까지의 거리를 [eqn: b]라고 가정하고 전류 전극까지의 거리를 [eqn: s]라고 가정하면, 두 전위 전극사이에 걸리게 되는 전위차는 다음 (2.42) 식과 같다. 물론, 이 식은 지하 매질이 균질한 매질로 가정된 겉보기 비저항치에 대한 경우이다.

[eqn: DELTA V~=~2`( rho_app ` `I`/`2 pi )``[{ 1 over s-b ` - ` 1 over s+b} ]`` cdots cdots (2.42)]

이 식을 겉보기 비저항치에 대해 풀어내면,

[eqn: rho_app ~=~ ( DELTA V/I``)` CDOT ` 2pi s``(s^2 -b^2 )`/`(4bs) `` cdots cdots (2.43)]

로 표현된다.

실제적으로 두 전위 전극 사이에 걸리게 되는 전위차는

[eqn: DELTA V ~&= ~ [`V(s-b)` -`V(s+b)`]` -` [`V(s+b)`-`V(s-b)`]## &=~2`[V(s-b)`-`V(s+b)]## &=`-2`[V(s+b)-V(s-b)]`` cdots cdots (2.44)]

결국, (2.44)를 [eqn: 2b]로 나누어 다시 정리하면,

[eqn: {DELTA V} over 2b ``=`` -2` {[V(s+b)-V(s-b)]} over 2b `` cdots cdots (2.45)]

이다. 여기에서 미분의 정의가 다음 (2.46) 식과 같으므로

[eqn: lim from { b ->0 }` {V(s+b)-V(s-b)} over 2b ~ =~ {partial V} over {partial r} RIGHT |_r=s `` cdots cdots (2.46)]

[eqn: s]가 [eqn: b]에 비해 충분히 클 때, 다시 말해 [eqn: {b / s} ` << `1] 이면, (2.45) 식은 다음과 같은 미분 형태로 표현이 가능하다.

[eqn: {DELTA V } over{ 2b} ~=~-2` {partial V} over {partial r} RIGHT |_r=s `` cdots cdots (2.47)]

이제 실제 층상 구조에 대한 전위 분포식 (2.41)을 사용하여, [eqn: V(r)]의 미분치를 구하면,

[eqn: V(r)~=~ { rho _1 I} over {2pi} INT _{ 0}^{ INF }` [1`+`2 theta_1 ( lambda )]``J_0 ( lambda r)``d lambda `` cdots cdots (2.41)]

[eqn: {partial V} over {partial r} RIGHT |_r=s ~=~ { rho _1 I} over {2pi} INT _{ 0}^{ INF }` [1`+`2 theta_1 ( lambda )] ``{partial J_0 ( lambda r)} over {partial r}`` d lambda `` cdots cdots (2.48)]

을 얻게된다. 이 때, [eqn: {partial J_0` (x)}/ {partial x} ~ =~ -J_1 (x)] 임을 이용하면,

[eqn: {partial V} over {partial r} RIGHT |_r=s ~=~ - { rho _1 I} over {2pi} INT _{ 0}^{ INF } [1``+``2` theta _1 ( lambda )]``J_1` ( lambda s)``lambda``d lambda `` cdots cdots (2.49)]

임을 알 수 있다.

[eqn: rho _app ~&=~( DELTA V `/` I)` cdot` 2`pi `s`` (s^2 `-` b^2 )`/`(`4`b`s`) ## &== ~ {DELTA V} OVER 2b CDOT pi OVER I (s^2 -b^2 ) = -2{ {partial V} over {partial r}} RIGHT |_r=s pi OVER I (s^2 -b^2 ) ## &SIMEQ~-2 cdot LEFT {- { rho _1 I} over 2pi INT _{ 0}^{ INF } [1``+``2 `theta _1` ( lambda )] ``J_1` (lambda` s) `` lambda ```d `lambda RIGHT }cdot pi over I (s^2 - b^2 ) ## &SIMEQ ~ rho _1 s^2 INT _{0 }^{ INF }` [1``+``2` theta _1` ( lambda )] ``J_1` ( lambda` s) `lambda`` d` lambda `` cdots cdots (2.50)]

3. 2차원 구조에 대한 전기 비저항 탐사

이론 및 수치 해석

) 본 장의 내용은 대부분 □Dey, A. and Morrison, H.F., 1979, Resistivity modelling for arbitrary shaped two-dimensional resistivity structures, Geophysical Prospecting, v. 27, p. 106-136□ 의 자료를 참고하였으며, 필요에 따라서 개인적 설명을 첨가하였음.

3.1 기본 관련식

(Fundamental Relation)

전류 연속 방정식에 의해

[eqn: TRIANGLED cdot bold J = {partial rho} over {partial t} delta (bold r - bold r_s ) ={partial rho} over {partial t} delta (x) delta (y) delta (z) `` cdots cdots (3.1)]

의 관계가 있음을 알고 있다. 이 식의 전류 밀도를 전기 전도도 [eqn: sigma] 및 전위 [eqn: V]로 표현하면,

[eqn: TRIANGLED cdot [ sigma (x,y,z) TRIANGLED V (x,y,z) ] = {partial rho} over { partial t} delta (bold r - bold r_s )`` cdots cdots (3.2)]

로 표현된다. 여기에서 잘 알려진 벡터 변환 [eqn: TRIANGLED ( sigma TRIANGLED V ) = TRIANGLED sigma cdot TRIANGLED V + sigma TRIANGLED ^2 V] 을 사용하면, (3.2)식은

[eqn: TRIANGLED sigma(x,y,z) cdot TRIANGLED V(x,y,z) + sigma(x,y,z) TRIANGLED ^2 V(x,y,z) = - {partial rho} over {partial t} delta (bold r -bold r_s )`` cdots cdots (3.3)]

으로 쓸 수 있다.

우리가 현재 다루는 문제는 2차원 문제로 특정 주향 방향(여기서는 [eqn: y] 축 방향)에 대해서는 물성 변화가 없는 것으로 가정하므로 [eqn: partial sigma / partial y = 0] 이며, 전기전도도를 [eqn: sigma(x,y,z)]=[eqn: sigma (x,z)]로 쓸 수 있다. 그러나 전위의 경우, 전류 전원이 점원의 형태를 가지고 있으므로 점원이 놓이는 절대적 지점에 대해서 주향 방향으로도 변화가 있다. 만약 전원이 지하구조의 주향 방향과 평행한 선형인 경우에는 전위도 [eqn: x] 및 [eqn: z]에만 종속적인 것으로 표현할 수 있다. 이렇게 매질은 2차원 구조이고 점전원 (point source)인 경우, 완전한 2차원 문제보다는 복잡하고 완전한 3차원 문제보다는 단순한 해법이 구사된다. 보통 이런 경우를 2.5 차원(two and half dimension)의 문제라고 하기도 한다.

이러한 [eqn: x] 및 [eqn: z]에만 종속되는 전기전도도 표현을 이용하여, (3.2) 및 (3.3) 식을 다시 쓰면,

[eqn: TRIANGLED cdot [ sigma (x,z) TRIANGLED V (x,y,z) ] = {partial rho} over { partial t} delta (bold r - bold r_s )`` cdots cdots (3.4)]

[eqn: TRIANGLED sigma(x,z) cdot TRIANGLED V(x,y,z) + sigma(x,z) TRIANGLED ^2 V(x,y,z) = - {partial rho} over {partial t} delta (bold r -bold r_s )`` cdots cdots (3.5)]

이며, 아래의 벡터 변환 정의 (3.6)를 이용하여 (3.5)을 다시 쓰면,

[eqn: TRIANGLED ^2 (sigma V) &= TRIANGLED cdot (sigma TRIANGLED V + V TRIANGLED sigma) = TRIANGLED sigma cdot TRIANGLED V + sigma TRIANGLED ^2 V + TRIANGLED V cdot TRIANGLED sigma + V TRIANGLED ^2 sigma ## &=2 TRIANGLED sigma cdot TRIANGLED V + sigma TRIANGLED ^2 V + V TRIANGLED ^2 sigma`` cdots cdots (3.6)]

다음과 같은 (3.7) 식을 얻게된다.

[eqn: TRIANGLED ^2 LEFT { sigma(x,z) V(x,y,z) RIGHT } + sigma(x,z) TRIANGLED ^2 V(x,y,z) - V(x,y,z) TRIANGLED ^2 sigma(x,z) ## = -2 {partial rho} over {partial t} delta (x-x_s ) delta (y-y_s ) delta (z-z_s ) `` cdots cdots (3.7)]

이러한 2.5 차원의 문제를 2차원 문제로 바꾸기 위해서는 [eqn: y] 변수에 대한 코사인 변환을 수행하여 해결한다. 즉, 다음 (3.8) 및 (3.9)로 표현되는 코사인 변환을 이용하면,

[eqn: tilde {f} `(x, K_y , z) = INT _{0}^{inf} f`(x,y,z) cos(K_y y) ` dy `` cdots (3.8)]

[eqn: f `(x, y, z) = 2 over pi INT _{0}^{inf} tilde {f} `(x,K_y ,z) cos(K_y y) ` d K_y `` cdots (3.9)]

(3.4)식은 다음과 같이 변화되며,

[eqn: - TRIANGLED cdot [ sigma(x,z) TRIANGLED phi (x,K_y ,z) ] + K_y^2 ``sigma (x,z) phi (x, K_y, z) = tilde{Q} ``delta (x-x_s ) delta (z-z_s )`` cdots (3.10)]

(3.7)식은 다음과 같이 변화된다.

[eqn: TRIANGLED ^2 LEFT { sigma(x,z) phi(x,K_y ,z) RIGHT } + sigma(x,z) TRIANGLED ^2 phi (x,K_y ,z) &- phi (x,K_y ,z) TRIANGLED ^2 sigma(x,z) ## - 2 K_y^2 `sigma(x,z) phi(x,K_y , z) &= -2 tilde {Q} `delta (x-x_s ) delta (z-z_s )`` cdots cdots (3.11)]

여기에서 우변의 물리량은 다음과 같다.

[eqn: tilde {Q} ` delta (x -x_s ) delta (z -z_s ) = 1 over 2 {partial rho} over {partial t} delta (x -x_s ) delta (z -z_s ) = I over { 2 TRIANGLE A } `` cdots cdots (3.12)]

결국, 2차원 전기 비저항의 문제는 (3.10) 또는 (3.11)의 형태로 주어지는 미분 방정식을 □1) 전위는 전기전도도에 의해 구분되는 영역, 즉 [eqn: sigma (x,z)]의 경계에서 연속이며, 2)이 경계의 수직 성분에 해당되는 전류 밀도는 연속이다□ 라는 경계 조건에 따라 수치적으로 해를 구하는 것이다.

3.2 2차원 비저항 문제의 영역 분할

(Discretization of the 2-D resistivity Problem)

식 (3.10) 및 (3.11)을 일반적인 미분 방정식의 형태로 표현하면 다음 식 (3.13)과 같은 형태로 쓸 수 있다.

[eqn: - partial over {partial x} [P(x, z) {partial phi} over partialx (x,K_y ,z)] - partial over partialz [P(x,y) partialphi over partialz (x,K_y ,z)] ## + sigma (x,z) phi(x,K_y ,z)=f`(x,z)~;~(x,z) IN R`` cdots cdots (3.13)]

(3.13)식을 (3.10) 또는 (3.11)과 비교하면, 결국

[eqn: P(x,z)={ sigma (x,z)} over K_y^2`` cdots cdots (3.14)]

[eqn: f(x,z)= {Q delta(x_s )delta(z_s )} over K_y^2 `` cdots cdots (3.15)]

만약 [eqn: Gamma]를 영역 [eqn: R]의 경계로 정의하고 외부로 향하는 방향을 [eqn: eta]로 설정하면, 이러한 문제의 경계 조건은 다음과 같은 형태를 갖게 된다.

[eqn: alpha (x,z)phi + beta (x,z) {partial phi} over partialeta = f_2 (x,z) ~~;~~ (x,z) IN GAMMA `` cdots cdots (3.16)]

그리고 위의 치환 값들이 영역 [eqn: R]내에서 부분적이라도 연속이며, 아래의 조건들을 만족하는 경우,

[eqn: &P(x,z)>0~~~ sigma(x,z)>0 ~~;~~(x,z) IN R## &alpha(x,z) >= 0,~~ beta (x,z) >= 0~~;~~ alpha + beta > 0 ~~ (x,z) IN GAMMA]

이 방정식은 "Self-Adjoint Strongly Connected and Nonseparable Elliptic Equation of 2nd Order" 라고 명명되며, 체계적인 수치 해법이 가능하다. 이 경우 [eqn: L]이라는 연산자 (operator)에 의해 주어진 미분 방정식을 표현 할 수 있다. 즉,

[eqn: L ``phi = - TRIANGLED cdot [sigma(x,z) triangled phi]~=~f(x,z) ~~on ~~R`` cdots cdots (3.17)]

로써 연산자 [eqn: L]은 전위에 [eqn: del]을 취한 후 전기전도도와 곱하고 다시 [eqn: del]과 내적하는 연산 작용으로 표현된다.

그림 3.1은 영역 분할을 위해 설정된 격자망 (mesh) 의 형태를 보여준다.

그림 3.1 유한 차분 계산을 위한 격자망 번호 매김 방식

만약 점전원이 [eqn: (i,j)]에 놓여지게 되면, 일반적인 경우, 그 위치에 대한 면적은 (3.18)식으로 표현되며,

[eqn: TRIANGLE A= {( TRIANGLE x_i + TRIANGLE x_i-1 ) CDOT ( TRIANGLE z_j + TRIANGLE z_j-1 )} OVER 4`` cdots cdots (3.18)]

지표부에 전원이 놓여 지게되는 경우는 다음 (3.19) 식과 같이 계산된다. 여기에서 면적은 설정지점 [eqn: (i,j)]를 둘러 쌓고 있는 면적을 의미한다.

[eqn: TRIANGLE A= {( TRIANGLE x_i + TRIANGLE x_i-1 ) CDOT TRIANGLE z_j } OVER 4`` cdots cdots (3.19)]

특히, 주의 해야할 사항은 이 면적에 해당되는 부분이 물리적으로 같은 물성을 갖는 경우 일 수도 있으며(이런 경우, 절점에 의한 분할; Discretization by points), 그렇지 않고 절점을 잊는 선들에 의해 형성되는 면(그림에서 보여지는 빈 격자)이 물리적으로 같은 물성을 갖는 영역 일 수도 있다(이런 경우는 면적에 의한 분할; Discretization by areas). 그러나 두 경우 모두, 전원에 해당되는 면적 즉, (3.12) 식의 면적은 그림 3.1에서 [eqn: A]로 표기된 면적을 사용한다.

3.3 최외곽부에 대한 경계 조건 고찰

(Boundary Conditions applied on the Edge)

지표부에 대해서 수직 성분의 전류밀도가 0이라는 조건은 다음과 같이 표현된다. 이 조건은 어떠한 경우에도 절대적인 조건이며(전원부 제외) 특별히, 다른 경계 조건 처리가 필요하지 않다.

[eqn: sigma_x,y partialphi_i,j over partialeta = 0, ~~for all ~i=1,2,....,N~~with~j=1 `` cdots cdots (3.20)]

이에 반해, 나머지 3부분의 경계, 좌측 외곽부, 우측 외곽부 및 아래측 외곽부는 사실 무한대의 크기를 가져야 함에도 불구하고 계산을 위해 한정시킬 수밖에 없으므로 특별한 처리를 통해 수치해의 정확도를 기할 수 있다. 만약 이 3부분의 경계에 대해 모든 전위가 영이라는 경계 조건(Dirichlet type)를 갖는 경우는 실제 해석 해에 비해 작은 값으로 평가(undershoot)되는 문제가 있으며, 이들 경계에 대해 전류 밀도의 수직 성분이 영이라는 미분형 경계 조건을 주는 경우(Neuman type)는 실제 해석해보다 크게 평가되는 (overshoot) 현상이 발생된다. 이런 문제를 보완하기 위해서는 전위치와 수직 방향 미분치(수직성분 전류 밀도)를 혼합하여 경계 조건을 주는 혼합 경계 조건(mixed boundary condition)을 설정한다.

기본적으로,

[eqn: - TRIANGLED ^2 phi ~+ ~k_y^2 ``phi ~=~f`` cdots cdots (3.21)]

본 형태의 미분 방정식은 기본적으로 불균질 매체에서부터 충분히 먼 거리에 존재하는 영역에 대해서는 다음과 같은 보정된 베셀 (modified bessel) 함수 형태의 점근형 해(asymptotic soultion)를 갖는 것이 이미, 알려져 있다.

[eqn: phi(x, k_y , z) =AK_0 (K_y r)`` cdots cdots (3.22)]

또한 이 전위치에 대한 수직 방향 미분치는

[eqn: {partialphi over partialeta} &= {-A``K_y `K_1``(K_y r)} ``cdot ``e_r ` ` cdot`` hat eta## &= {-A``K_y `K_1``(K_y r)} ``cos theta `` cdots cdots (3.23)]

로 표현된다. 이 두식에서 상수치 [eqn: A]를 소거하게되면 다음과 같은 경계 조건을 마련 할 수 있다.

[eqn: {partialphi``(x,K_y ,z)} over partialeta ~+ ~alpha ``phi ``(x,K_y ,z) cdot cos theta ~=~0`` cdots cdots (3.24)]

여기에서 [eqn: alpha = {K_y K_1 (K_y r )} over { K_0 (K_y r)}]

경계 조건 (3.24)가 지표면을 제외한 나머지 3부분의 경계에서 실제 계산 시 사용되는 경계 조건이다. 여기에서 거리 [eqn: r]은 엄밀하게 말하면 전원이 놓이는 위치에서부터 경계 조건이 계산되는 부위까지의 거리로 전원의 위치가 바뀌면 변화하게 되지만 주로 관심 대상 영역이 최외곽 격자망에 비해 매우 작게 설정되는 것이 일반적이므로 보통, 수평 격자망의 중심부부터의 거리를 사용하여도 결과에 큰 영향을 미치지는 않는다.

3.4 절점에 의한 구역 분할시의 유한 차분식

(FDM equation using Discretization by points)

어떠한 이산 물리량 [eqn: P_i,j]에 대한 라플라스 ([eqn: del^2] )은 다음과 같이 표현된다.

[eqn: TRIANGLED P_i,j ~ = ~ 2 over { TRIANGLE x_i + TRIANGLE x_i-1} cdot LEFT [ {(P_i-1,j -P_ij )} over {TRIANGLE x_i-1} - {(P_i+1,j -P_ij )} over {TRIANGLE x_i} } RIGHT ]]

[eqn: + 2 over {( TRIANGLE z_j + TRIANGLE z_j-1 )} LEFT [ {(P_i,j-1 -P_ij )} over {TRIANGLE z_j-1} - {(P_i,j+1 -P_ij )} over {TRIANGLE z_j} RIGHT ] `` cdots cdots (3.25)]

이 식에 따라 기본 미분방정식인 (3.11)식 [eqn: TRIANGLED ^2 (sigma phi ) + sigma TRIANGLED ^2 phi - phi TRIANGLED^2 sigma - 2K_y^2 sigma phi = -2 Q delta(x_s ) delta(z_s )]을 표현한 후, 전위 값에 대해서 묶어내면,

[eqn: & phi_i-1,j ``LEFT [ {-2(sigma_i-1,j + sigma_i,j )} over{( TRIANGLE x_i + TRIANGLE x_i-1 ) cdot TRIANGLE x_i-1 } RIGHT ] + phi _i+1,j LEFT [ {-2(sigma_i+1,j + sigma_i,j )} over{( TRIANGLE x_i + TRIANGLE x_i-1 ) cdot TRIANGLE x_i } RIGHT ] ### &+~phi_i,j-1 ``LEFT [ {-2(sigma_i,j-1 + sigma_i,j )} over{( TRIANGLE z_j + TRIANGLE z_j-1 ) cdot TRIANGLE z_j-1 } RIGHT ] + phi _i,j+1 LEFT [ {-2(sigma_i,j+1 + sigma_i,j )} over{( TRIANGLE z_j + TRIANGLE z_j-1 ) cdot TRIANGLE z_j } RIGHT ] ### & + phi_i,j ``LEFT [ {2(sigma_i-1,j + sigma_i,j )} over{( TRIANGLE x_i + TRIANGLE x_i-1 ) cdot TRIANGLE x_i-1 } + {2(sigma_i+1,j + sigma_i,j )} over{( TRIANGLE x_i + TRIANGLE x_i-1 ) cdot TRIANGLE x_i } +##& {2(sigma_i,j-1 + sigma_i,j )} over{( TRIANGLE z_j + TRIANGLE z_j-1 ) cdot TRIANGLE z_j-1 } + {2(sigma_i,j+1 + sigma_i,j )} over{( TRIANGLE z_j + TRIANGLE z_j-1 ) cdot TRIANGLE z_j } + 2K_y^2 sigma_i,j RIGHT ] ### & = 2Q delta (x_s )delta (y_s )`` cdots cdots (3.26)]

이 식을 이미 정해져 있는 설정치들(격자크기, 전기전도도 등 모델에 의해 주어지는 값들)로 정리하면,

[eqn: C_L^ij phi_i-1,j + C_R^ij phi_i+1,j +C_T^ij phi_i,j-1 + C_B^ij phi_i,j+1 + C_P^ij phi_ij = 2Q delta (x_s )delta(z_s )`` cdots cdots (3.27)]

여기에서 설정치 값들은 다음과 같다.

[eqn: &C_L^ij = {-2(sigma_i-1,j + sigma_i,j )} over { (TRIANGLE x_i + TRIANGLE x_i-1 ) cdot TRIANGLE x_i-1 }`` cdots cdots (3.27-1)### &C_R^ij = {-2(sigma_i+1,j + sigma_i,j )} over { (TRIANGLE x_i + TRIANGLE x_i-1 ) cdot TRIANGLE x_i}`` cdots cdots (3.27-2)### &C_T^ij = {-2(sigma_i,j-1 + sigma_i,j )} over { (TRIANGLE z_j + TRIANGLE z_j-1 ) cdot TRIANGLE z_j-1 }`` cdots cdots (3.27-3)### &C_B^ij = {-2(sigma_i,j+1 + sigma_i,j )} over { (TRIANGLE z_j + TRIANGLE z_j-1 ) cdot TRIANGLE z_j}`` cdots cdots (3.27-4)### & C_P^ij = -[C_L^ij + C_R^ij + C_T^ij + C_B^ij -2K_y^2 sigma_i,j ]`` cdots cdots (3.27-5)]

3.5 면적에 의한 구역 분할시의 유한 차분식

(FDM equation using Discretization by areas)

면적에 의한 구역 분할시의 유한 차분식의 유도는 (3.10) 식으로부터 시작된다. 그 이유는 면적에 의한 구분 시에는 기본 미분방정식에 면적분을 수행하고 이 면적분이 수행된 식의 형태를 면에 대한 그린의 정리 (Green's theorem in the plane)을 통해 선적분으로 변화시키는데 이때, (3.10) 처럼 [eqn: del]에 대해 한번만 연산된 형태가 적합하기 때문이다(식 (3.12)는 [eqn: del]에 대해 두 번 연산된 형태인 [eqn: del^2]을 가짐).

먼저, (3.10)식을 다시 한번 써 보면,

[eqn: - TRIANGLED cdot [sigma(x,z) TRIANGLED phi(x,K_y ,z)] + K_y^2 sigma(x,z)phi(x,K_y ,z) = Q delta(x_s ) delta(z_s )`` cdots cdots (3.10)]

[eqn: rm{with} it (x,z) IN R]

또한 경계 조건은 (3.16)식

[eqn: alpha (x,z)phi + beta {partialphi} over {partial eta } = f_2 (x,z)`` cdots cdots (3.16)]

을 사용하게 된다.

특정 지점에 대해 생각하게 되는 면적 요소는 앞에서 언급한 것과 같이 지점을 둘러싸고 있는 면적으로 내부에서는

[eqn: TRIANGLE A_i,j = {( TRIANGLE x_i + TRIANGLE x_i-1 )( TRIANGLE z_j + Z_j-1 )} over 4]

지표면에서는

[eqn: TRIANGLE A_i,j = {( TRIANGLE x_i + TRIANGLE x_i-1 ) cdot TRIANGLE z_j } over 4] 로 표현된다.

여기서 물성경계는 이 면적 요소와는 구분된다. 즉 [eqn: sigma(i,j)]는 절점 [eqn: (i,j)], [eqn: (i+1,j)], [eqn: (i,j+1)], [eqn: (i+1,j+1)]로 둘러 싸여지는 격자이다.

그린의 정리를 이용하기 위하여, 면적 요소 [eqn: TRIANGLE A_i,j]에 대해서 면적분을 (3.10)식에 적용하면,

[eqn: INT INT _{ TRIANGLE A_ij} TRIANGLED cdot {sigma(x,z) TRIANGLED phi (x,k_y ,z)dxdz } + INT INT _{TRIANGLE A_ij } K_y^2 sigma (x,z) phi(x,k_y , z)dxdz### = INT INT _{ TRIANGLE A_ij} Q delta(x_s ) delta(z_s ) dx dz = I over 2 delta(x_s )delta(z_s ) `` cdots cdots (3.28)]

를 얻게된다. 여기에서 우변은 [eqn: Q= I over {2 TRIANGLE A_ij }]임을 이용하였다.

이제, 평면에 대한 그린의 정리를 사용하면, 좌변의 첫 번째 항은

[eqn: INT INT _{ TRIANGLE A_ij } TRIANGLED cdot (sigma TRIANGLED phi ) da = OINT_{ L_i,j} sigma {partialphi} over {partial eta} dl `` cdots cdots (3.29)]

로 표현된다.

이제 절점 [eqn: (i,j)]를 둘러싸고 있는 경로에 대해서 (3.28)식의 첫째 항을 하나씩 선 적분해 나가면,

[eqn: INT _{ L_i,j} {partialphi_i,j} over {partial eta} dl =& sigma_i,j-1 {phi_i,j+1 -phi_i,j} over {TRIANGLE z_j-1} cdot {TRIANGLE x_i } over 2 +sigma_i,j-1 {phi_i+1,j -phi_i,j} over {TRIANGLE x_i} cdot {TRIANGLE z_j-1 } over 2 ### & sigma_i,j {phi_i+1,j -phi_i,j} over {TRIANGLE x_i} cdot {TRIANGLE z_j } over 2 +sigma_i,j {phi_i,j+1 -phi_i,j} over {TRIANGLE z_j} cdot {TRIANGLE x_i } over 2 ### & sigma_i-1,j {phi_i,j+1 -phi_i,j} over {TRIANGLE z_j} cdot {TRIANGLE x_i-1 } over 2 +sigma_i-1,j {phi_i-1,j -phi_i,j} over {TRIANGLE x_i-1} cdot {TRIANGLE z_j } over 2 ### & sigma_i-1,j-1 {phi_i-1,j -phi_i,j} over {TRIANGLE x_i-1} cdot {TRIANGLE z_j } over 2 +sigma_i-1,j-1 {phi_i,j-1 -phi_i,j} over {TRIANGLE z_j-1} cdot {TRIANGLE x_i-1 } over 2 `` cdots cdots (3.29)]

로 표현되며, 둘째 항은

[eqn: INT INT _{TRIANGLE A_ij } K_y^2 sigma (x,z)& phi(x,k_y , z)dxdz ###= K_y^2 phi_i,j& LEFT [ {sigma_i-1,j-1 cdot TRIANGLE x_i-1 cdot TRIANGLE z_j-1} over 4 + {sigma_i,j+1 cdot TRIANGLE x_i cdot TRIANGLE z_j-1 }over 4 ### & + {sigma_i,j cdot TRIANGLE x_i cdot z_j} over 4 + {sigma_i-1,j cdot TRIANGLE x_i-1 cdot z_j }over 4 RIGHT ] = A(sigma_i,j , A_i,j ) phi_i,j`` cdots cdots (3.30)]

이 된다.

이제, 전절의 절점에 의한 분할 시에 사용된 것과 마찬가지로 전위에 대하여 정리하면, 최종적으로 얻게되는 유한 차분식은 다음과 같다.

[eqn: C_L^ij phi_i-1,j+ C_R^ij phi_i+1,j+ C_T^ij phi_i,j-1 + C_B^ij phi_i,j+1 + C_P^ij phi_ij = I over 2 delta(x_s )delta(z_s )`` cdots cdots (3.31)]

[eqn: &C_L^ij = - LEFT [{ TRIANGLE z_j-1 cdot sigma_i-1,j-1 + TRIANGLE z_j cdot sigma_i-1,j} over {2 TRIANGLE x_i-1} RIGHT] `` cdots cdots (3.31-1)### &C_R^ij = - LEFT [{ TRIANGLE z_j-1 cdot sigma_i,j-1 + TRIANGLE z_j cdot sigma_i,j} over {2 TRIANGLE x_i} RIGHT] `` cdots cdots (3.31-2)### &C_T^ij = - LEFT [{ TRIANGLE x_i-1 cdot sigma_i-1,j-1 + TRIANGLE x_i cdot sigma_i,j-1} over {2 TRIANGLE z_j-1} RIGHT] `` cdots cdots (3.31-3)### &C_B^ij = - LEFT [{ TRIANGLE x_i-1 cdot sigma_i-1,j + TRIANGLE x_i cdot sigma_i,j} over {2 TRIANGLE z_j} RIGHT] `` cdots cdots (3.31-4)]

[eqn: &C_P^ij = - LEFT [C_L^ij + C_R^ij + C_T^ij + C_B^ij -A(sigma_i,j , A_i,j ) RIGHT ]`` cdots cdots (3.31-5)]

면적에 의한 분할의 경우 사용하게되는 경계 조건은

[eqn: alpha (x,z)phi + beta {partialphi} over {partial eta } = f_2 (x,z)`` cdots cdots (3.16)]

으로 지표부의 경우는 [eqn: alpha=0, ``beta=sigma_i,j `, ``f_2 =0]을 이용하면 되고, 나머지 3개의 경계부에서는 [eqn: alpha = K_y K_1 (K_y r) / K_0 (K_y r) , ``beta = 1,`` f_2 = 0]을 이용하여 식을 풀어나가면 된다.

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